可重复的组合

今天早上跟羊羊扯了会儿天。羊羊在看概率论，给我推荐了一个有意思的小定理。

有 $n$ 个元素，放回地取 $r$ 个元素，组成的组合种类有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r}\right)$。假设取了3 个元素，$(1,2,1)$ 和 $(1,1,2)$ 是相同的组合。

设 $x_i$ 是第 $i$ 总共取了几次，那么所述的组合数就是 ${\sum }_{1\le i\le n,x_i\ge 0}{x}_i=r$ 的整数解数目。设 $y_i=x_i+1$，那么上述方程是 ${\sum }_{1\le i\le n,y_i\ge 1}{y}_i=n+r+1$。做这样的代换，解的数目显然是不变的。后者的解数目显然是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{n-1}\right)$，也就是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r}\right)$。