BZOJ 4720 换教室 （期望dp Floyd）

4720: [Noip2016]换教室

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 512 MB
Description

对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节
课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先
被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完
成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个
时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛
发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率
是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。
这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申
请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因
为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在
的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,
通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一
条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体
力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。
Input

第一行四个整数n,m,v,e。n表示这个学期内的时间段的数量;m表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室;
v表示牛牛学校里教室的数量;e表示牛牛的学校里道路的数量。
第二行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示c,,即第i个时间段牛牛被安排上课的教室;保证1≤ci≤v。
第三行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示di,即第i个时间段另一间上同样课程的教室;保证1≤di≤v。
第四行n个实数,第i(1≤i≤n)个实数表示ki,即牛牛申请在第i个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤ki≤1。
接下来e行,每行三个正整数aj,bj,wj,表示有一条双向道路连接教室aj,bj,通过这条道路需要耗费的体力值是Wj;
保证1≤aj,bj≤v,1≤wj≤100。
保证1≤n≤2000,0≤m≤2000,1≤v≤300,0≤e≤90000。
保证通过学校里的道路,从任何一间教室出发,都能到达其他所有的教室。
保证输入的实数最多包含3位小数。
Output

输出一行,包含一个实数,四舎五入精确到小数点后恰好2位,表示答案。你的
输出必须和标准输出完全一样才算正确。
测试数据保证四舎五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于4*10^-3。(如果你不知道什么是浮点误差,这段话
可以理解为:对于大多数的算法,你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理)

Sample Input

3 2 3 3

2 1 2

1 2 1

0.8 0.2 0.5

1 2 5

1 3 3

2 3 1

Sample Output

2.80

思路：
典型的概率DP题目，定义f[i][j][0|1]表示前i堂课，已经申请了j次，这次申或不申请的最小期望值。最短路是一个独立的问题，不受dp影响，单独的Floyd处理就好。然后就dp啦，转移并不难，就直接贴代码了。

#include   
#include   
#include   
#include   
#define LL long long  
#define INF 1000000000
using namespace std;  

const int N = 2010;  

int dis[350][350];  
double p[N], f[N][N][2];  
int c[N][2];  

int main(){  
    int n, m, v, e; scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &v, &e);  
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));//
    for(int i=1; i<=v; i++) dis[i][i] = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &c[i][0]);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &c[i][1]);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lf", &p[i]);
    for(int i=1; i<=e; i++){  
        int x, y, z; scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);  
        dis[x][y] = min(dis[x][y], z);  
        dis[y][x] = min(dis[y][x], z);  
    }
    for(int k=1; k<=v; k++)
        for(int i=1; i<=v; i++)
            for(int j=1; j<=v; j++)
                if(i!=k && i!=j && k!=j) dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);   
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<=m; j++)
            f[i][j][0] = f[i][j][1] = INF;
    f[1][0][0] = 0; f[1][1][1] = 0;  
    for(int i=2; i<=n; i++){  
        f[i][0][0] = f[i-1][0][0] + dis[c[i-1][0]][c[i][0]];
        double t1 = p[i-1] * dis[c[i-1][1]][c[i][0]] + (1-p[i-1]) * dis[c[i-1][0]][c[i][0]];  
        double t2 = p[i] * dis[c[i-1][0]][c[i][1]] + (1-p[i]) * dis[c[i-1][0]][c[i][0]];  
        double t3 = p[i-1] * dis[c[i-1][1]][c[i][1]] + (1-p[i-1]) * dis[c[i-1][0]][c[i][1]];  
        for(int j=1; j<=m && j<=i; j++){ 
            f[i][j][0] = min(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1][0]][c[i][0]], f[i-1][j][1]+t1);  
            f[i][j][1] = min(f[i-1][j-1][0]+t2, f[i-1][j-1][1]+p[i]*t3+(1-p[i])*t1);
        }
    }
    double ans = INF;
    for(int i=0; i<=m; i++) ans = min(ans, min(f[n][i][0], f[n][i][1]));
    printf("%.2lf", ans);
    return 0;
}