CTC解决什么问题
CTC，Connectionist Temporal Classification，用来解决输入序列和输出序列难以一一对应的问题。
举例来说，在语音识别中，我们希望音频中的音素和翻译后的字符可以一一对应，这是训练时一个很天然的想法。但是要对齐是一件很困难的事，如下图所示（图源见参考资料[1]），有人说话块，有人说话慢，每个人说话快慢不同，不可能手动地对音素和字符对齐，这样太耗时。
再比如，在OCR中使用RNN时，RNN的每一个输出要对应到字符图像中的每一个位置，要手工做这样的标记工作量太大，而且图像中的字符数量不同，字体样式不同，大小不同，导致输出不一定能和每个字符一一对应。
CTC基本概述
考虑一个LSTM，用w表示LSTM的参数，则LSTM可以表示为一个函数：\(y = N_w(x)\)。
定义输入x的时间步为T，每个时间步上的特征维度记作m，表示m维特征。
\[ x = (x^1, x^2, ..., x^T) \\x^t = (x_1^t, x_2^t, ..., x_m^t)\]
输出时间步也为T，和输入可以一一对应，每个时间步的输出维度作为n，表示n维输出，实际上是n个概率。
\[ y = (y^1, y^2, ..., y^T) \\y^t = (y_1^t, y_2^t, ..., y_n^t)\]
假设要对26个英文字符进行识别，考虑到有些位置没有字符，定义一个-作为空白符加入到字符集合\({L}'= \{a,b,c,...,x,y,z\} \cup \{-\}= L \cup \{-\} = \{a,b,c,...,x,y,z,-\}\)，那么对于LSTM而言每个时间步的输出维度n就是27，表示27个字符在这个时间步上输出的概率。
如果根据这些概率进行选取，每个时间步选取一个元素，就可以得到输出序列，其输出空间可以记为\({L}'^T\)。
定义一个B变换，对LSTM的输出序列（比如下例中的4个\(\pi\)）进行变换，变换成真实输出（比如下例中的state），把连续的相同字符删减为1个并删去空白符。举例说明，当T=12时：
\[\begin{split} B(\pi^1) &= B(--stta-t---e) = state \\ B(\pi^2) &= B(sst-aaa-tee-) = state \\ B(\pi^3) &= B(--sttaa-tee-) = state \\ B(\pi^4) &= B(sst-aa-t---e) = state \end{split}\]
其中\(\pi\)表示LSTM的一种输出序列。当我们优化LSTM时，只需要最大化以下概率，即给定输入x的情况下，输出为l的概率，\(l\)表示真实输出。对下式取负号，就可以使用梯度下降对其求最小。
\[p(l \ | \ x) = \sum_{B(\pi)=l} p(\pi | x)\]
假设时间步之间的输出独立，那么对于任意一个输出序列\(\pi\)的概率计算式子如下，
\[p(\pi | x) = \prod_{t=1}^{T} y_{\pi_t}^t\]
其中下标\(\pi_t\)表示的是，输出序列在t时间步选取的元素对应的索引，比如该序列在第一个时间步选取的元素是a，那么得到的值就是1。选取的是z，那么得到的值就是26。选取的是空白符，那么得到的值就是27。为了方便观测，也用对应的字符表示，其实是一个意思，如下式所示。
\[ \pi = (--stta-t---e) \\ p(\pi | x) = {y^1}_{-} \cdot {y^2}_{-} \cdot y^3_{s} \cdot y^4_{t} \cdot y^5_{t} \cdot y^6_{a} \cdot {y^7}_{-} \cdot {y^8}_{t} \cdot {y^9}_{-} \cdot {y^{10}}_{-} \cdot {y^{11}}_{-} \cdot y^{12}_{e} \]
但是对于某一个真实输出，比如上述的state，有多个LSTM的输出序列可以通过B转换得到。这些序列都是我们要的结果，我们要使给定x，这些输出序列的概率加起来最大。如果逐条遍历来求得，时间复杂度是指数级的，因为有T个位置，每个位置有n种选择（字符集合的大小），那么就有\(n^T\)种可能。因此CTC借用了HMM中的“前向-后向算法”（forward-backward algorithm）来计算。
CTC中的前向后向算法
由于真实输出\(l\)是一个序列，序列可以通过一个路径图中的一条路径来表示，我们也称输出序列\(l\)为路径\(l\)。定义路径\({l}'\)为“在路径\(l\)每两个元素之间以及头尾插入空白符”，如：
\[l = state \\ {l}' = -s-t-a-t-e-\]
对某个时间步的某个字符求导（这里用k表示字符集合中的某个字符或字符索引），恰好是与概率\(y_k^t\)相关的路径。
\[ \frac{\partial \, p(l \ |x)}{\partial \, y_k^t} = \frac{\partial \, \sum_{B(\pi)=l, \pi_t=k} p(\pi | x)}{\partial \, y_k^t} \]
以前面的\(\pi^1, \pi^2, \pi^3, \pi^4\)为例子，画出两条路径（还有两条没画出来），如下图所示（图源见参考资料[1]）。
4条路径都在t=6时经过了字符a，观察4条路径，可以得到如下式子。
\[ \begin{split} \pi^1 &= b = b_{1:5} + a_6 + b_{7:12} \\ \pi^2 &= r = r_{1:5} + a_6 + r_{7:12} \\ \pi^3 &= b_{1:5} + a_6 + r_{7:12} \\ \pi^4 &= r_{1:5} + a_6 + b_{7:12} \end{split}\]
\[\begin{split} p( \pi^1, \pi^2, \pi^3, \pi^4 | x) &= {y^1}_{-} \cdot {y^2}_{-} \cdot {y^3}_{s} \cdot {y^4}_{t} \cdot {y^5}_{t} \cdot {y^6}_{a} \cdot {y^7}_{-} \cdot {y^8}_{t} \cdot {y^9}_{-} \cdot {y^{10}}_{-} \cdot {y^{11}}_{-} \cdot {y^{12}}_{e} \\ &+ {y^1}_{s} \cdot {y^2}_{s} \cdot {y^3}_{t} \cdot {y^4}_{-} \cdot {y^5}_{a} \cdot {y^6}_{a} \cdot {y^7}_{a} \cdot {y^8}_{-} \cdot {y^9}_{t} \cdot {y^{10}}_{e} \cdot {y^{11}}_{e} \cdot {y^{12}}_{-} \\ &+ {y^1}_{-} \cdot {y^2}_{-} \cdot {y^3}_{s} \cdot {y^4}_{t} \cdot {y^5}_{t} \cdot {y^6}_{a} \cdot {y^7}_{a} \cdot {y^8}_{-} \cdot {y^9}_{t} \cdot {y^{10}}_{e} \cdot {y^{11}}_{e} \cdot {y^{12}}_{-} \\ &+ {y^1}_{s} \cdot {y^2}_{s} \cdot {y^3}_{t} \cdot {y^4}_{-} \cdot {y^5}_{a} \cdot {y^6}_{a} \cdot {y^7}_{-} \cdot {y^8}_{t} \cdot {y^9}_{-} \cdot {y^{10}}_{-} \cdot {y^{11}}_{-} \cdot {y^{12}}_{e}\end{split}\]
令：
\[\begin{split} forward &= p(b_{1:5} + r_{1:5} | x) = {y^1}_{-} \cdot {y^2}_{-} \cdot {y^3}_{s} \cdot {y^4}_{t} \cdot {y^5}_{t} + {y^1}_{s} \cdot {y^2}_{s} \cdot {y^3}_{t} \cdot {y^4}_{-} \cdot {y^5}_{a} \\ backward &= p(b_{7:12} + r_{7:12} | x) = {y^7}_{-} \cdot {y^8}_{t} \cdot {y^9}_{-} \cdot {y^{10}}_{-} \cdot {y^{11}}_{-} \cdot {y^{12}}_{e} + {y^7}_{a} \cdot {y^8}_{-} \cdot {y^9}_{t} \cdot {y^{10}}_{e} \cdot {y^{11}}_{e} \cdot {y^{12}}_{-} \end{split}\]
那么可以做如下表示：
\[p( \pi^1, \pi^2, \pi^3, \pi^4 | x) = forward \cdot y_a^t \cdot backward\]
上述的forward和backward只包含了4条路径，如果推广一下forward和backward的含义，考虑所有路径，可做如下表示：
\[\sum_{B(\pi)=l, \pi_6=a} p(\pi | x) = forward \cdot y_a^t \cdot backward\]
定义forward为\(\alpha_t({l}'_k)\)，表示t时刻经过\({l}'_k\)字符的路径概率中1-t的概率之和，式子定义如下。
\[\alpha_t({l}'_k) = \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = {l}'_k} \ \prod_{{t}'=1}^{t} {y_{\pi_{{t}'}}^{{t}'}}\]
t=1时，符号只能是空白符或\(l_1\)，可以得到以下初始条件：
\[\alpha_1(-) = {y^1}_{-} \\ \alpha_1(l_1) = y^1_{l_1} \\ \alpha_1(l_t) = 0, \forall t > 1 \]
观察上图（（图源见参考资料[1]）可以发现，如果t=6时字符是a，那么t=5时只能是字符a，t，空白符三选一，否则经过B变换后无法得到state。
可以得到以下递推关系：
\[\alpha_6(a) = (\alpha_5(a) + \alpha_5(t) + \alpha_5(-)) \cdot y_a^6\]
更一般地，可以得到如下递推关系：
\[\alpha_t({l}'_k) = (\alpha_{t-1}({l}'_k) + \alpha_{t-1}({l}'_{k-1}) + \alpha_{t-1}(-)) \cdot y_{{l}'_k}^t\]
定义backward为为\(\beta_t(s)\)，表示t时刻经过\({l}'_k\)字符的路径概率中t-T的概率之和，式子定义如下。
\[\beta_t({l}'_k) = \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = {l}'_k} \ \prod_{{t}'=t}^{T} {y_{\pi_{{t}'}}^{{t}'}}\]
t=T时，符号只能是空白符或\(l_{|{l}'|-1}\)，可以得到以下初始条件：
\[\beta_T(-) = {y^T}_- \\ \beta_T({l}'_{|{l}'|-1}) = y^T_{l_{|{l}'|-1}} \\ \beta_T(l_{|{l}'|-i}) = 0, \forall i > 1 \]
同理，可以得到如下递推关系：
\[\beta_t({l}'_k) = (\beta_{t+1}({l}'_k) + \beta_{t+1}({l}'_{k+1}) + \beta_{t+1}(-)) \cdot y_{{l}'_k}^t\]
根据forward和backward的式子定义，它们相乘可以得到：
\[\alpha_t({l}'_k) \beta_t({l}'_k) = \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = {l}'_k} \ y_{{l}'_k}^t \prod_{t=1}^{T} {y_{\pi_t}^t}\]
又因为\(p(l \ | \ x)\) 对\({l}'_k\)求导时，只跟那些\(\pi_t = {l}'_k\)的路径有关，那么求导时（注意是求导时）可以简写如下式子：
\[p(l \ | \ x) = \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = {l}'_k} p(\pi | x) = \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = {l}'_k} \ \prod_{t=1}^{T} y_{\pi_t}^t\]
结合上面两式，得到：
\[p(l \ | \ x) = \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = {l}'_k} \ \frac{\alpha_t({l}'_k) \beta_t({l}'_k) }{y_{{l}'_k}^t}\]
最后可以得到求导式（这里用k来表示字符，和\({l}'_k\)的含义相同）：
\[\frac{\partial \, p(l \ |x)}{\partial \, y_k^t} = \frac{\partial \ \sum_{B(\pi)=l, \ \pi_t = k} \frac{\alpha_t(k) \beta_t(k) }{y_k^t}}{\partial \, y_k^t}\]
求导式里的forward和backward可以用前面的dp递推式计算出来，时间复杂度是\(nT\)，相比于前面的指数复杂度\(n^T\)大大减小了计算量。
这样对LSTM的输出y求导之后，再根据y对LSTM里面的权重参数w进行链式求导，就可以使用梯度下降的方法来更新参数了。
CTC的预测
一种方法是Best Path search。计算概率最大的一条输出序列（假设时间步独立，那么直接在每个时间步取概率最大的字符输出即可），但是这样没有考虑多个输出序列对应一个真实输出这件事，举个例子，[s,s,-]和[s,s,s]的概率比[s,t,a]低，但是它们的概率之和会高于[s,t,a]。
第二种方法是Beam Search。假设指定B=3，预测过程如下图所示（图源见参考资料[2]）。在第一个时间步选取概率最大的三个字符，然后在第二个时间步也选取概率最大的三个字符，两两组合（概率相乘）可以组合成9个序列，这些序列在B转换之后会得到一些相同输出，把具有相同输出的序列进行合并，比如有3个序列都可以转换成a，把它们合并（概率加在一起），计算出概率最大的三个序列，然后继续和下一个时间步的字符进行同样的合并。
有一点需要注意的是合并相同字符时，比如我们看上图T=3的时候，第一个前缀序列a，在跟相同字符a合并的时候，除了产生a之外，还会产生一个aa的有效输出。这是因为这个前缀序列a在T=2的时候曾经是把空白符合并掉了，实际上这个前缀序列a后面是跟着一个空白符的，所以它在跟相同字符a合并的时候中间是有一个隐藏的空白符，合并之后得到的应该是两个a。
因此在合并相同字符时，如果要合并成aa，需要统计在这之前以空白符结尾的那些序列的概率，如果要合并成a，计算的是不以空白符结尾的那些序列的概率。出于这个事实，我们需要跟踪前两处输出，以便于后续的合并计算，见下图所示（图源见参考资料[2]）。
CTC的几个性质
第一个是条件独立性。CTC做了一个假设就是不同时间步的输出之间是独立的。这个假设对于很多序列问题来说并不成立，输出序列之间往往存在联系。
第二个是单调对齐。CTC只允许单调对齐，在语音识别中可能是有效的，但是在机器翻译中，比如目标语句中的一些比较后的词，可能与源语句中前面的一些词对应，这个CTC是没法做到的。
第三个是多对一映射。CTC的输入和输出是多对一的关系。这意味着输出长度不能超过输入长度，这在手写字体识别或者语音中不是什么问题，因为通常输入都会大于输出，但是对于输出长度大于输入长度的问题CTC就无法处理了。
参考资料
[1] 知乎上的一篇文章：一文读懂CRNN+CTC文字识别
[2] Distill上一篇关于CTC的介绍（作者Hannun Awni）：Sequence Modeling With CTC