Title:【Empty】
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Description
给定n与p,求\(\left\lfloor x^n\right\rfloor \% p\),x=\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)。
Input Format
输入一行，两个非负整数n,p。
Output Format
输出一个整数，表示答案
Sample Input
5 97
Sample Output
11
Solution
今天写道数学题吧OwO
这道题我们看到\(\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2}\)，那么我们容易想到另一个无理数\(\frac{1-\sqrt 5}{2}\)对吧？
因为这两个无理数是方程\(t^2-t-1=0\)的两根
那么数学好的大佬肯定一眼看出这个特征方程对应的递推通式是\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]\)
我们首先设\(x1=\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2}\)，\(x2=\frac{1-\sqrt 5}{2}\)
那么其实这个递推式的通式其实就是\(f[n]=c1*x1^n+c2*x2^n\)
具体这个递推式是什么呢？我们并不在乎对吧（引用：我又不是数学老师）
为了得到\(x1^n\)，我们不妨假设这个递推式的通项式为\(f[n]=(\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n\)
首先我们将0,1带入递推通式得到\(f_0=2,f_1=1\)，那么我们所得到的递推式每一项都必然是一个整数
由于\(-1<\frac{1-\sqrt 5}{2}<0\)，显然\(\begin{cases} -1<(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n<0& \text{n%2==1} \\ 0<(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n<1& \text{n%2==0} \end{cases}\)
那么我们只要对于n的奇偶性讨论一下，如果是奇就直接输出\(f[n]\)，否则输出\(f[n]-1\)
剩下就是一个矩阵乘法求递推第n项，因此很容易求解
#include
long long n;
int zqm,f0,f1;
struct r{
int a,b,c,d;
}a,c;
r operator *(r a,r b){
r c;
c.a=(a.a*1ll*b.a+a.b*1ll*b.c)%zqm;
c.b=(a.a*1ll*b.b+a.b*1ll*b.d)%zqm;
c.c=(a.c*1ll*b.a+a.d*1ll*b.c)%zqm;
c.d=(a.c*1ll*b.b+a.d*1ll*b.d)%zqm;
return c;
}
int main()
{
scanf("%lld%d",&n,&zqm);
f0=2,f1=1;
if (n==0){
printf("%d\n",1%zqm);
return 0;
}
if (n==1){
printf("%d\n",1%zqm);
return 0;
}
n-=2;
int ans=0;
if (!(n&1)) ans--;
a=(r){1,1,1,0};
c=a;
while (n){
if ((n&1)) c=c*a;
a=a*a,n>>=1;
}
ans=(c.a*1ll*f1+f0*1ll*c.b+ans)%zqm;
printf("%d",ans);
return 0;
}