微分方程概论

概念

微分方程分为2类，只有一个变量的常微分方程(ODE)和有两个变量的偏微分方程（PDE）

案例讲解-摆动球

这里是一个球摆动模型，我们来建立微分方程

你会发现当摆动幅度较大时候

摆动周期会比中学计算公式计算出来的更大

当距离更远就不像余弦函数了

为了理解这个问题我们建立微分方程来解决
我们用这个振幅所对应的弧长X来表示它的位置，若$\theta$是弧度制，则x可表示为$L\ast \theta$,这里L是摆长。考虑重力受力图如下，加速度前面的负号总是与指向与位移相反的方向。

所以x的二阶导数，即加速度是$-g^{\ast }\sin (\theta )$
$$a=\ddot{x}=-g\sin (\theta )$$
因为$x=L\ast \theta$,所以$\theta$的二阶导数是$-g\ast sin(\theta )/L$
$$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\sin (\theta )$$
加入空气阻力，假设空气阻力大小与速度的大小成正比，。


一开始我们以为曲线会以正弦的波动形式摆动，但实际上单摆不会以正弦波动形式摆动的原因就是中间的$sin(\theta (t))$

难以计算

在这里微分方程的难点就是难以计算，如果去掉阻力项，则勉强可以计算。


通常才用直接写程序试凑的方法得到。

状态的表示

单摆的状态可以用两个数字来表示，角度和角速度，你可以在不影响其中一个值得情况下改变另一个值。但加速度只关于这两个值得函数，所以这个二维平面上的点完全描述了任意给定时刻的单摆。


从开始时候，随着$\theta$减小，${\theta }^{\prime }$在y方向越来越小。是因为在最接近低点时候，单摆向左的速度越来越大，景观单摆的速度方向是向左，在我们二维空间中，速度大小由垂直分量代表，这个图描述了单摆因为空气阻力失去能量的运动。
通过这个空间，我们可以将微分方程可视化为向量场

向量场

解释如下，单摆状态是这个向量$[\theta (t),{\theta }^{\prime }(t)]$,你可以把它想成一个起点为原点的箭头或一个点

对这个向量求导就可以得到它的变化率，也就是它在图像中变化趋势的速度大小和方向。，这个导数是一个新向量$[{\theta }^{\prime }(t),{\theta }^{\prime \prime }(t)]$


在这里已经把二阶微分方程，分解为两个一阶方程。

在向量图中如果${\theta }^{\prime }$特别高的区域，向量引导走了很多之后才会进入一个内旋螺旋中。

有趣的是，当我们提高空气阻力系数，你会立即发现轨迹线很快进入漩涡中

在这里把python的代码显示如下


这是常微分方程的数值解法。