概率论基础-严士健 第二版 习题与补充1.6答案

概率论基础-严士健 第二版
习题与补充1.6答案

1.不独立。
设有一均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1，2，3，5面染白色，第1，6，7，8面染黑色，现在以A，B，C分别表示投一次正八面体出现红、白、黑的事件，则
$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}.$
$P(ABC)=\frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C).$
但是，
$P(AB)=\frac{3}{8}\ne \frac{1}{4}=P(A)P(B)$
故A、B、C不两两独立。
2.$P(A_{n}i.o.)=P({\cup }_{n=1}^{\infty }{\cap }_{k\ge n}{A}_k)={\lim }_{n\to \infty }P({\cap }_{k\ge n}{A}_k)\le {\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k\ge n}P(A_k)=0.$
$P(A_{n}i.o.)=1-{\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\Pi }_{k=n}^{m}P(A_k^c)=1-{\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\Pi }_{k=n}^m(1-P(A_k))\ge 1-{\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\Pi }_{k=n}^m{e}^{-P(A_k)}=1-{\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{e}^{-{\sum }_{k=n}^{m}P(A_k)}=1.$
3.i) ${\Pi }_{k=1}^n(1-p_k)$
ii)1 - ${\Pi }_{k=1}^n(1-p_k)$
iii) ${\sum }_{k=1}^n{p}_k{\Pi }_{j\ne k}(1-p_j)$
4.由定义3知${\mathcal{C}}_t,t\in T$独立的充分必要条件是对$T$的任意有限子集$\{t_1,\dots ,t_n\},n\ge 1,{\mathcal{C}}_{t_k},k=1,\dots ,n$独立，因而只需对$T=\{1,\dots ,n\}$的情形证明。
对任意$A_j\in {\mathcal{C}}_j,j=1,\dots ,n$，任取$1\le k_1<k_1<\cdots <k_m\le n$
i)设事件A的概念为0，事件B 的概念为1。则
$P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap A\cap B)=0={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})P(A)P(B);$
$P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j});$
$P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap A)=0={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})P(A);$
$P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap B)=P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j})={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})P(B).$
ii) 设$A\supset B$且$A\in {\mathcal{C}}_j$，则$P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap (A-B))=P(({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap A)-({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap B))=P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap A)-P({\cap }_{j=1}^m{A}_{k_j}\cap B)={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})P(A)-{\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})P(B)={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})(P(A)-P(B))={\Pi }_{j=1}^{m}P(A_{k_j})P(A-B).$
iii)及iv)考虑由$\mathcal{C}$所生成的$\sigma$代数，再由独立性的证明立马得证。
5.${\mathcal{G}}_k=\{{\cap }_{j=i}^{m_i}{A}_{t_j},A_{t_j}\in {\mathcal{C}}_{t_j},t_j\in T_k,m\ge 1\}$，只需证${\mathcal{G}}_k$相互独立且每一个${\mathcal{G}}_k$是$\Pi$系，$k=1,\dots ,n$。
i)取任一有限子集$\{i_1,\dots ,i_n\}$，由于事件类${\mathcal{C}}_t,t\in T$独立，从而${\mathcal{C}}_{t_{i_1}},\dots ,{\mathcal{C}}_{t_{i_n}}$独立。则$P({\cap }_{j=i_1}^{m_{i_1}}{A}_{t_j}\cap \dots ,{\cap }_{j=i_n}^{m_{i_n}}{A}_{t_j})=P({\cap }_{j=i_1}^{m_{i_1}}{A}_{t_j})\dots P({\cap }_{j=i_n}^{m_{i_n}}{A}_{t_j})$.
ii)取$A={\cap }_{j=1}^m{A}_{t_j},B={\cap }_{i=1}^h{B}_{t_i},A_{t_j}\in {\mathcal{C}}_{t_j},B_{t_i}\in {\mathcal{C}}_{t_i},t_j,t_i\in T_k$，则
$A\cap B={\cap }_{j=1}^m{A}_{t_j}\cap {\cap }_{i=1}^h{B}_{t_i}={\cap }_{j=1}^m{\cap }_{i=1}^h{A}_{t_j}\cap B_{t_i}={\cap }_{j=1}^{\max \{m,h\}}{A}_{t_j}\cap B_{t_j}$得到$\Pi$系。