概率论基础-严士健 第二版 习题与补充3.2答案

概率论基础-严士健 第二版 习题与补充3.2答案
1.$f$为非负简单函数，即$f={\sum }_{j=1}^n{x}_j{\chi }_{A_j}$，则
$\int fd\mu =\int fd(a_1{\mu }_1+a_2{\mu }_2)=\int {\sum }_{j=1}^n{x}_j{\chi }_{A_j}d(a_1{\mu }_1+a_2{\mu }_2)={\sum }_{j=1}^n{x}_j(a_1{\mu }_1+a_2{\mu }_2)(A_j)={\sum }_{j=1}^n{x}_j(a_1{\mu }_1(A_j)+a_2{\mu }_2(A_j))={\sum }_{j=1}^n{x}_j{a}_1{\mu }_1(A_j)+{\sum }_{j=1}^n{x}_j{a}_2{\mu }_2(A_j)=a_1{\sum }_{j=1}^n{x}_j{\mu }_1(A_j)+a_2{\sum }_{j=1}^n{x}_j{\mu }_2(A_j)=a_1\int {\sum }_{j=1}^n{x}_j{\chi }_{A_j}d{\mu }_1+a_2\int {\sum }_{j=1}^n{x}_j{\chi }_{A_j}d{\mu }_2=a_1\int fd{\mu }_1+a_2\int fd{\mu }_2$
$f$关于${\mu }_1,{\mu }_2$的积分存在，则$\int |f|d{\mu }_1<\infty ,\int |f|d{\mu }_1<\infty$, 由上式得$\int |f|d\mu <\infty$,即$f$关于$\mu$积分存在.
$f$为非负函数，存在一列非负递增的简单函数$f_n\uparrow f$，由单调收敛定理即证。
$f$为一般函数，则$f=f^{+}-f^{-}$即可。
tips：主要是简单函数的证明，虽然明显，但是要严格的写出来。
2.由于$|g|\ge 0$，故而：
$a|g|\le f|g|\le b|g|$。由于$g$关于$\mu$可测，则$\int a|g|\le \int f|g|\le \int b|g|$。故存在某个常数$c\in [a,b]$有：
$\int f|g|=c\int |g|$.
3.由于$f,g$是取有限值的简单函数，假设$f$关于$\mu$可积，设$g={\sum }_{i=1}^n{a}_i{\chi }_{A_i}$，其中$a_1,\dots ,a_n$有限，不妨设$M=\max \{a_1,\dots ,a_n\}$，从而$fg\le Mf$可知$fg$可积。
4.$\infty >\int f_{+}\ge \int |f|\ge {\int }_{|f|\ge ϵ}|f|\ge ϵ\mu (|f|\ge ϵ)\forall ϵ>0.$所以$\infty \ge \mu (|f|\ge ϵ).$
5.由于$\varnothing$中的点的个数为0，从而$\mu (\varnothing )=0.$
由于$\varnothing \subset A$从而$\mu (A)\ge 0.$
设$A_1,A_2\dots$是一列互不相交的集合，且对应点的个数分别为$m_1,m_2,\dots$，从而${\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$中点的个数为${\sum }_{i=1}^{\infty }{m}_i$.则$\mu ({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }{m}_i={\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i)$。故$(\Omega ,\mathcal{A},\mu )$是一个测度空间。
6.给定$A=\{\omega \}$，令$P(A)=a,P(A^c)=1-a$，则$\int fd\nu =\int fd{\delta }_A=f(\omega )=\int gd\nu =\int gd{\delta }_A=g(\omega ).$由于$\omega$的任意性，从而$f(\omega )=g(\omega ).$