概率论基础-严士健 第二版 习题与补充5.2答案

概率论基础-严士健 第二版
习题与补充5.2答案
1.若将${\xi }_n\to \xi ,P-a.e.$改成${\xi }_n\stackrel{P}{\to }\xi$结论同样成立。
${\xi }_n\stackrel{P}{\to }\xi$ 等价于 存在子列$n_k$,使得$n_k$的子列$n_{k_j}$有${\xi }_{n_{k_j}}\stackrel{a.e.}{\to }\xi$.证明过程类似。
2.相当于证明$\forall B\in \mathcal{C},{\int }_{B}g(E(\xi |\mathcal{C}))\le {\int }_{B}E(g(\xi )|\mathcal{C})$，由于$g$是凸数，则$E[g(E(\xi \mid C))]\le E[Eg(\xi )\mid C]=Eg(\xi )$.
3.i)$\forall B\in \mathcal{C}\subset {\mathcal{C}}^{\prime },{\int }_{B}E(\xi {\xi }^{\prime }|\mathcal{C})={\int }_B\xi {\xi }^{\prime }={\int }_{B}E(\xi {\xi }^{\prime }|{\mathcal{C}}^{\prime })={\int }_B{\xi }^{\prime }E(\xi |{\mathcal{C}}^{\prime })={\int }_{B}E({\xi }^{\prime }E(\xi |{\mathcal{C}}^{\prime })|\mathcal{C}).$
ii)
4.$\forall n和m\le n,E({\xi }_n|{\mathcal{A}}_m)=E({\sum }_{k=1}^n{\eta }_k|{\mathcal{A}}_m)={\sum }_{k=1}^m{\eta }_k+E({\sum }_{k=m+1}^n{\eta }_k|{\mathcal{A}}_m)={\sum }_{k=1}^m{\eta }_k+E({\sum }_{k=m+1}^n{\eta }_k)=(\ge ){\sum }_{k=1}^m{\eta }_k={\xi }_m.$