Runge Ryo
Runge Ryo

Graph Theory 离散数学第五章

离散数学Ⅰ（图论）期末复习第一篇

  • 写这个时的感想
  • 第五章 图的基本概念
    • 5.1 有向图和无向图
    • 5.2 通路、回路和图的连通性
    • 5.3 图的矩阵表示
    • 5.4 最短路径、关键路径和着色

写这个时的感想

第一篇博客！！！
小激动！
深刻怀疑这些题目是要考的（判断与应用）；
唉，还有一些定理、结论性的东西（证明类）；
到时候再写罢……

基于老师的ppt和清华大学出版社的《离散数学（第五版）》

第五章 图的基本概念

5.1 有向图和无向图

  • 握手定理

    • 求边，求点。
    • 给一个度数列，判断其能不能构成一个图

  • 子图

    • 哪些是边导出子图，哪些是点导出子图
    • 这是不是点导出子图，这是不是边导出子图
    • 请画出某图的：
      生成子图（包含所有的顶点、边不一定有）
      子图（相比生成子图，点也不一定全有）
      点导出子图
      边导出子图

  • 同构

    • 这几幅图同构吗，为什么
      如果同构，记得要写出点、边的一一对应关系。
      如果不同构，要写出原因

    • 记得图的数学表达（等考完前几场试我再补充）

    • 补图
      请画出某图的补图

5.2 通路、回路和图的连通性

  • 通路与回路
    • 存在通路吗？写出来
      简单通路（所有边都不一样、点无所谓）
      复杂通路（有重复边出现）
      初级通路（所有边都不一样，所有点都不一样）
    • 存在回路吗？写出来
      （如上）
  • 连通
    • 有多少个连通分支？
    • 这个点集是不是点割集？
    • 这个边集是不是边割集？
  • 有向图当中
    • 弱连通吗？
      看基图连不连通就好了
    • 强连通吗？
      当且仅当图中存在经过每一个顶点至少一次的回路
    • 单向连通吗？
      当且仅当图中存在经过每一个顶点至少一次的通路

5.3 图的矩阵表示

  • 无向图的关联矩阵
    • 怎么写
      行是边，列是点，mij是顶点vi和边ej的关联次数。
      关联次数有三种取值：
      0（vi与ej不关联）
      1（vi与ej关联一次）
      2（vi与ej关联两次，也就是ej是以vi为顶点的环！）
    • 性质
      每一列恰好有两个1：每条边关联两个顶点
      每一列恰好有一个2：环关联的两个顶点重合
      第i行的元素之和：即vi的度数
      所有元素之和：边数的二倍（握手定理）
      vi是孤立点时：当且仅当第i行全部为0
      ej和ek是平行边时：第j列和第k列相同
  • （没有环的） 有向图的关联矩阵
    • 怎么写
      行是边，列是点
      但是！mij的取值和之前无向图的不太一样
      1 ：vi是ej的始点
      0 ：vi与ej不关联
      -1：vi是ej的终点
    • 性质
      每一列恰好有一个+1和一个-1；
      每行中 +1 的个数：对应的点的 出度
      每行中 -1 的个数：对应的点的 入度
  • 有向图的邻接矩阵 （可以有环了！）
    • 怎么写
      每行每列都代表了点。
      mij的取值：vi邻接到vj的边的条数
    • 性质
      第i行的元素之和：vi的出度
      第j列的元素之和：vj的入度
      所有的元素之和 = 边数
      噢还有一个很重要的定理：
      Al中的元素aij是vi到vj长度为l的通路数
      Al中所有元素和是有向图中长度为l的通路（包括回路）的总数
      其中对角线上的元素和是图中长度为l的回路总数
      就……先不在这里证明了
  • 有向图的可达矩阵
    • 怎么写
      若vi可达vj，元素pij=1；反之，元素pij=0
    • 性质
      对角线上元素都是1

类似的，无向图也可以有邻接矩阵和可达矩阵！
即每一条无向边都可以看作一对方向相反的有向边
显然，无向图的邻接矩阵和可达矩阵都是对称的

5.4 最短路径、关键路径和着色

Dijkstra算法

项目网络图

着色

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