排队论 (queuing theory)推论与举例

目录

1、排队模型的表示

2、排队系统的衡量指标

3、排队系统的要素

顾客的输入过程

排队结构与排队规则

服务机构与服务规则

其中,到达间隔和服务时间(X,Y)具有的典型分布有

4、模型的系统运行状态参数:

泊松流到达间隔服从负指数分布:

顾客服务时间分布(负指数分布):

5、M/M/1模型:

1、模型的条件是:

2、对于M/M/1模型有如下公式:        

3、举例

6、M/M/S模型

1、模型的条件是:

2、对应M/M/S有如下公式:

3、举例


排队论 (queuing theory),或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究,得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计规律,然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象,使得服务系统既能满足服务对象的需要,又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科,也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。

最初是用 3 个字母组成的符号 X/Y/Z 表示一个排队系统。其中 X 表示顾客到达时间分布,Y 表示服务时间的分布,Z 表示服务机构中的服务台的个数

排队论 (queuing theory)推论与举例_第1张图片

1、排队模型的表示

X/Y/Z/A/B/C

X — 顾客相继到达的间隔时间的分布;

Y — 服务时间的分布(M — 负指数分布、D — 确定时间、Ek — k 阶埃尔朗分布、G — 一般随机分布、GI—一般相互独立分布)

Z — 服务台个数;

A — 系统容量限制(默认为 ∞);

B — 顾客源数目(默认为 ∞);

C — 服务规则 (默认为先到先服务 FCFS)。

2、排队系统的衡量指标

服务队长 Ls — 正在接受服务的顾客数;期望值;

排队长 Lq — 在队列中等待的顾客数;期望值;

总队长 L = Ls + Lq — 系统中的顾客总数;期望值;

服务时间 E — 顾客在服务中消耗的时间;期望值;

等待时间 Wq — 顾客在队列中等待的时间;期望值;

总时间 Ws = E + Wq — 顾客在系统中的总逗留时间;期望值

忙期 — 服务机构两次空闲的时间间隔;

稳态 — 系统运行充分长时间后,初始状态的影响基本消失,系统状态不再随时间变化。

服务强度 :\rho = \frac{\lambda}{s\cdot \mu }

3、排队系统的要素

(1)顾客输入过程;

(2)排队结构与排队规则;

(3)服务机构与服务规则。

  • 顾客的输入过程

顾客源(总体):有限/无限;
顾客到达方式:逐个/逐批;(仅研究逐个情形)
顾客到达间隔:随机型/确定型; <<<< X
顾客前后到达是否独立:相互独立/相互关联;
输入过程是否平稳:平稳/非平稳;(仅研究平稳性)

注:其中顾客到达间隔满足如下条件,则称为泊松流(满足泊松分布):
(1) 在不相互重叠的时间区间内,到达顾客数相互独立(无后效性);
(2) 对于充分小的时间间隔\left [ t,t+\Delta t \right ]内,到达1个顾客的概率与t无关,仅与时间间隔成正比 (平稳性) ;
(3) 对于充分小的时间间隔\left [ t,t+\Delta t \right ],2个及以上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。

  • 排队结构与排队规则

顾客排队方式:等待制/即时制(损失制);
排队系统容量:有限制/无限制;
排队队列数目: 单列/多列; 
是否中途退出: 允许/禁止;
是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)

  • 服务机构与服务规则

服务台(员)数目;单个/多个;  <<<< Z
服务台(员)排列形式;并列/串列/混合;
服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形)
服务时间分布;随机型/确定型;  <<<< Y
服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)

其中,到达间隔和服务时间(X,Y)具有的典型分布有:

泊松分布 M
负指数分布 M
k阶爱尔朗分布 Ek
确定型分布 D
一般服务时间分布 G

归纳以上可得,经典排队系统模型(X,Y,Z,A,B,C)可表示成为:

  • M/M/1,M/D/1,M/ Ek /1
  • M/M/c, M/M/c/∞/m,
  • M/M/c/N/∞ ,。。。

注:c\in (1,2\cdots ,n),M、D为上述几种分布。

4、模型的系统运行状态参数:

系统状态 N(t) —— 指排队系统在时刻t时的全部顾客数N(t), 包括“排队顾客数”(Lq)和“正被服务顾客数”(Ls);

系统状态概率:

(1)瞬态概率Pn(t)
    ——表示时刻t系统状态 N(t)=n 的概率(也就是顾客到达数为n的概率分布);
(2)稳态概率Pn
    —— P_{n}=\lim_{t\rightarrow \infty }P_{n}(t)
    ——一般排队系统运行了一定长的时间后,系统状态的概率分布不再随时间 t变化,即初始时刻(t=0)系统状态的概率分布        (Pn(0) ,n>>0)的影响将消失。

公式推导过程:



总结上述

可知泊松流到达间隔服从负指数分布:

  • 若顾客到达间隔T的概率密度为
    f_{T}(t)=\begin{cases} & \lambda e^{-\lambda t} ,t\geq 0\\ & \0\; \; \; \; \; ,t<0 \end{cases}
    则成T服从负指数分布,分布函数为:
    F_{T}(t)=\begin{cases} & 1-\lambda e^{-\lambda t} ,t\geq 0\\ & \0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; ,t<0 \end{cases}
  • 若顾客流是泊松流时,顾客到达的时间间隔服从上述负指数分布。
  • 其中,E[T]=1/λ ; Var [T]=1/λ2 ; σ [T]=1/λ
  • λ 为单位时间顾客到达数的期望,称为平均到达率;1/λ 为平均间隔时间

顾客服务时间分布(负指数分布)

  • 对一个顾客的服务时间Ts,等价于相邻两个顾客离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布,其概率密度函数为:f_{T_{s}}(t)=\begin{cases} & \mu e^{-\mu t} ,t\geq 0\\ & \0\; \; \; \; \; ,t<0 \end{cases}
    分布函数为:
    f_{T_{s}}(t)=\begin{cases} & 1-\mu e^{-\mu t} ,t\geq 0\\ & \0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;,t<0 \end{cases}
    则 E[Ts]=1/µ ; Var [Ts]=1/ µ 2 ; σ [Ts]=1/ µ
  • E[Ts]=1/µ :每个顾客的平均(期望)服务时间; µ:单位时间服务的顾客数,平均(期望)服务率;
  • 其中μ 为平均服务率,1/μ 为平均服务时间

5、M/M/1模型:

1、模型的条件是:

1、输入过程――顾客源是无限的,顾客到达完全是随机的,单个到来,到达过程服从泊松分布,且是平稳的;
2、排队规则――单队,且队长没有限制,先到先服务;
3、服务机构――单服务台,服务时间的长短是随机的,服从相同的指数分布 。

2、对于M/M/1模型有如下公式:        

P_{0}=1-\rho P_{n}=\rho ^{n}(1-\rho)
L_{s}=\frac{\lambda }{\mu -\lambda}= \frac{\rho}{1-\rho} L_{q}=\frac{\lambda ^{2}}{\mu (\mu-\lambda)}=\frac{\rho^{2}}{1-\rho}=L_{s}\rho
W_{s}=\frac{1}{\mu-\lambda} W_{q}=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}=W_{s}\rho

注:(橙色标注为可做评价类指标)

  • P(N>k)=\rho^{k+1} :N>k的概率为P;
  • N(t):系统顾客数;
  • P0:系统处于没有顾客来到要求服务的概率
  • 系统负荷水平 ρ :它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度;
  • 总队长Ls:系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数,其平均值;
  • 队长Lg:系统中排队等待服务的顾客数,其平均值;
  • 逗留时间Ws:一个顾客在系统中停留时间,包括等待时间和服务时间,其平均值;
  • 等待时间Wg:一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值。
  • λ为平均到达率,1/λ 为平均间隔时间;
    μ为平均服务率,1/μ 为平均服务时间。

3、举例

某医院急诊室同时只能诊治一个病人,诊治时间服从指数分布,每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达,平均每小时到达3人。试对此排队队系统进行分析。

(1)先确定参数值:这是单服务台系统,有:
                 λ=3人/h              µ =60/15=4人/h
        故服务强度为:
                \rho =\frac{\lambda}{\mu}=\frac{3}{4}=0.75

(2)计算稳态概率:P0=1-ρ,也就是急诊室空闲的概率;
         繁忙的概率服从二项分布:ρ=1-P0=0.75
(3)急症室总病人数平均值:L_{s}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}
         急症室排队等待人数:L_{q}=L_{s}\rho
         病人在急症室逗留时间:W_{s}=\frac{1}{\mu-\lambda}
         病人平均等候时间:W_{q}=W_{s}\rho

6、M/M/S模型

1、模型的条件是:

  • 此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台, 各服务台的工作相互独立,服务率相等,如果顾客到达时,S个服务台都忙着,则排成一队等待,先到先得(FCFS)服务的单队模型;
  • 可以看做是s个M/M/1模型组合。
  • 整个系统的平均服务率为sμ,ρ*=λ/sμ,(ρ*<1)为该系统的服务强度。

2、对应M/M/S有如下公式:

(1)状态概率:
                  \large P_{0}=\left [ \sum_{k=0}^{s-1}\frac{1}{k!} (\frac{\lambda}{\mu})^{k}+\frac{1}{s!}\frac{1}{1-\rho^{*}}(\frac{\lambda}{\mu})^{s}\right ]^{-1}
                  \large P_{n}=\begin{cases} & \frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^{n}P_{0}\; \; \; \; \;0<n\leq s\\ & \frac{1}{s!s^{n-s}}(\frac{\lambda}{\mu})^{n}P_{0}\;\;\;\;n\geq s \end{cases}

(2)主要运行指标:

                  \large L_{q}=\frac{(s\rho^{*})^{s}\rho^{*}}{s!(1-\rho^{*})^{2}}P_{0}                              \large L_{s}=L_{q}+s\rho^{*}
                  \large W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}                                                      \large W_{s}=\frac{L}{\lambda}=W_{q}+\frac{1}{\mu}

(3)系统状态N\geq S的概率:
                  \large P(N\geq k)=\sum_{n=k }^{\infty}P_{n}=\frac{\rho^{k}}{k!(1-\rho^{*})}P_{0}

3、举例

某医院挂号室有三个窗口,就诊者的到达服从泊松分布,平均到达率为每分钟0.9人,挂号员服务时间服从指数分布,平均服务率每分钟0.4人,现假设就诊者到达后排成一队,依次向空闲的窗口挂号,显然系统的容量和顾客源是不限的,属于M/M/S型的排队服务模型。求:该系统的运行指标:Po、Lq、L、W、Wq、P(N≥3)。

由题可得:s=3;λ=0.9人/min;μ=0.4人/min; 
                  ρ=0.9/0.4=2.25;ρ*=λ/sμ=ρ/s=2.25/3=3/4

代入上列公式可得:Po、Lq、L、W、Wq、P。

排队论 (queuing theory)推论与举例_第2张图片
排队论 (queuing theory)推论与举例_第3张图片

 

 

 

 

 

 

 

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