图论基础问题【笔记】
主要集中一些初学图论的基础问题
第一题 洛谷P3916 图的遍历
题目描述
给出N个点，M条边的有向图，对于每个点v，求A(v)表示从点vv出发，能到达的编号最大的点。
sample input
4 3
1 2
2 4
4 3
sample output
4 4 3 4
思路
建图很简单，但是要到达最大的点，dfs每个点那么会T，最好的办法是反向存图，看最大的边可以到达哪些点并进行标记就行了
代码片
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
#define MAXL 100010
int N, M, A[MAXL];
vector<int> G[MAXL]; //vector存图
void dfs(int x, int d) //d保留最大值，x表示现在的结点
{
if(A[x]) return; //访问过
A[x] = d;
for(int i=0; i<G[x].size(); i++)
dfs(G[x][i], d);
}
int main()
{
int u, v;
scanf("%d%d", &N, &M);
for(int i=1; i<=M; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
G[v].push_back(u); //反向建边
}
for(int i=N; i; i--) dfs(i, i);
for(int i=1; i<=N; i++) printf("%d ", A[i]);
printf("\n");
return 0;
}
关于欧拉路的题目放两道
证明欧拉路和欧拉回路：
奇点：度数为奇数的点
欧拉路：只有两个奇点连通的图在这里插入代码片
欧拉回路：没有奇点连通的图
求欧拉路：先判断奇点，再dfs
欧拉回路：对于任意一个点执行dfs
欧拉路：对奇点执行dfs
第二题 洛谷P1341 无序字母对
题目描述
给定n个各不相同的无序字母对（区分大小写，无序即字母对中的两个字母可以位置颠倒）。请构造一个有n+1个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。
输入格式
第一行输入一个正整数n。
以下n行每行两个字母，表示这两个字母需要相邻。
输出格式
输出满足要求的字符串。
如果没有满足要求的字符串，请输出“No Solution”。
如果有多种方案，请输出前面的字母的ASCII编码尽可能小的（字典序最小）的方案
sample input
4
aZ
tZ
Xt
aX
sample output
XaZtX
思路
本题其实问的是：给出一个无向图，求字典序最小的一条欧拉路径（自己可以画一个图就容易懂了）
注意点：
1、是否是连通图，用并查集判断，只有一个根
2、是否是欧拉路或者欧拉回路，判断奇点个数
3、dfs求欧拉路径
代码片（结合思路注释）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//ascii不大于128，所以取130
const int N=52*51/2+10; //每个字母可以和51个字母想连，所以字符个数为52*51/2
int f[130]; //并查集父结点，检查根的个数
int m[130][130],d[130]; //数据量不大，m为邻接矩阵，d记录度数
char ans[N]; //记录输出的字符串
int n;
void init() { //初始化
for(int i=64; i<130; i++ ) f[i]=i;
memset(m,0,sizeof(m));
memset(d,0,sizeof(d));
}
int find(int x) {
return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
void unions(int x, int y) {
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if ( fx!=fy ) f[fx]=fy;
}
void dfs(int head) { //路径搜索
for(int i=64; i<130; i++ ) {
if ( m[head][i] ) {
m[head][i]=m[i][head]=0;
dfs(i);
}
}
ans[n--]=head; //在回溯部分记录，因此需要倒序输出
}
int main() {
char s[2];
scanf("%d",&n);
init(); //初始化
for(int i=0; i<n; i++ ) {
scanf("%s",s);
m[s[0]][s[1]]=m[s[1]][s[0]]=1; //记录邻接矩阵
unions(s[0],s[1]); //记录父结点
d[s[0]]++; //度数
d[s[1]]++;
}
int cnt=0;
for(int i=64; i<130; i++ ) {
if ( d[i] && i==find(i) ) cnt++; //记录根的个数
}
if ( cnt!=1 ) { //超过一个根就不是连通图了，第一个步骤
printf("No Solution\n"); return 0;
}
int head=0;
cnt=0;
for(int i=64; i<130; i++ ) {
if ( d[i]%2 ) { //记录奇点个数
cnt++;
if ( !head ) head=i; //记录第一个，这样就是最小字符起头了
}
}
if ( cnt>0 && cnt!=2 ) { //奇点个数不是0或者2，第二个步骤
printf("No Solution\n"); return 0;
}
if ( !head ) { //如果是欧拉回路需要找到第一个头
for(int i=64; i<130; i++ ) {
if ( d[i] ) { head=i; break;}
}
}
ans[n+1]='\0';
dfs(head); //dfs深搜答案了，第三个步骤
printf("%s\n",ans);
return 0;
}
题目三 洛谷P1127 词链
题目描述
有n个单词，若单词的首字母等于另一个单词的尾字母，就可以连起来，判断所给单词是否能够连起来，能的话输出字典序最小的词链，不能输出"***".
范围：n<1000
样例
6
aloha
arachnid
dog
gopher
rat
tiger
aloha.arachnid.dog.gopher.rat.tiger
思路
这一题范围很小，直接dfs。
有几个点需要注意：
1、比较困难的点是寻找第一个单词，接下来就是方法：
通过举例来理解
有三个字符串 acm,mo,orz.我们可以发现‘m’和‘o’都是可以对应的，再看看样例，就会有以下发现：第一个单词的首字母的数目，永远比所有单词的最后一个相同字母的数目多一（我知道有点难理解）。举个例子：样例中第一个单词的首字母’a’的出现次数是2次，而所有单词中末尾字母’a’出现的次数只有一次，而其它的字母都一一对应的出现了1次！
那就用两个数组来存储就行了。
代码片
#include题目四 洛谷P1330 封锁阳光大学
题目描述
一个由n个点m条边构成的无向图，每个点被路障（有两种类型的路障）进行封锁，对封锁有以下要求
相邻的两点封锁的路障不能相同
不可以输出Impossible 可以的话输出最少的路障数
样例
3 3
1 2
1 3
2 3
Impossible
3 2
1 2
2 3
1
思路
1、记录每个点的路障种类，若这个点已有路障且路障种类不同，那就是错的。
2、记录两种路障所需要的数目。
3、因为可能出现多个地图，所以要遍历一遍，但对已经遍历过的点就不用重复了
代码片
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int v[N]={0};//判断是否访问过.同时用来记录路障，一种是1，一种是-1
int sum[2];//统计数目
vector<int> q[N];//建图
bool dfs(int x, int color) { //标色
if ( v[x] ) {
if ( v[x]!=color ) return false;//（思路1）
return true;
}
v[x]=color;
color==1?sum[1]++:sum[0]++;//记录路障种类数(思路2）
bool flag=true;
for(int i=0; i<q[x].size() ; i++ ) {
if( !flag ) break;
flag=dfs(q[x][i],-color);
}
return flag;
}
int main() {
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=0; i<m; i++ ) {//建图
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
q[x].push_back(y);
q[y].push_back(x);
}
int ans=0;
for(int i=1; i<=n; i++ ) { //可能存在多个图 （思路3）
if ( v[i] ) continue; //已经遍历过的就跳过
sum[0]=sum[1]=0;
if ( !dfs(i,1) ) {
printf("Impossible\n");
return 0;
}
ans+=min(sum[0],sum[1]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
题目五 P2661 信息传递
题目描述
有 n个同学（编号为 1 到 n ）正在玩一个信息传递的游戏。在游戏里每人都有一个固定的信息传递对象，其中，编号为 i 的同学的信息传递对象是编号为 Ti的同学。游戏开始时，每人都只知道自己的生日。之后每一轮中，所有人会同时将自己当前所知的生日信息告诉各自的信息传递对象（注意：可能有人可以从若干人那里获取信息， 但是每人只会把信息告诉一个人，即自己的信息传递对象）。当有人从别人口中得知自 己的生日时，游戏结束。请问该游戏一共可以进行几轮？
输入：n个人，每个人告诉的人，n<200000
样例
5
2 4 2 3 1
3
思路
这题建模来看就是求最小环，可以用并查集也可以用dfs
dfs思路：到过一个环的点记录步数，如果再次走到这个点上，就可以判断出成环，当前步数减去刚才到该点步数就是这个环长
#include题目六 P2853 牛的野餐 cow picnic
题目描述
K(1≤K≤100)只奶牛分散在N(1≤N≤1000)个牧场．现在她们要集中起来进餐．牧场之间有M(1≤M≤10000)条有向路连接，而且不存在起点和终点相同的有向路．她们进餐的地点必须是所有奶牛都可到达的地方．那么，有多少这样的牧场呢？
样例
2 4 4
2
3
1 2
1 4
2 3
3 4
2
思路
如果对每个点都遍历过去的话，回T。其实只要对牛所在的点进行遍历就行了，每次遍历到的点在那个地方的num++，最后统计几个地方数量相等就好，简单题
代码片
#include题目七 P1363 幻象迷宫
题目描述
幻象迷宫可以认为是无限大的，不过它由若干个N*M的矩阵重复组成。矩阵中有的地方是道路，用’.‘表示；有的地方是墙，用’#‘表示。LHX和WD所在的位置用’S’表示。也就是对于迷宫中的一个点(x,y)，如果(x mod n,y mod m)是’.‘或者’S’，那么这个地方是道路；如果(x mod n,y mod m)是’#’，那么这个地方是墙。LHX和WD可以向上下左右四个方向移动，当然不能移动到墙上。
请你告诉LHX和WD，它们能否走出幻象迷宫（如果它们能走到距离起点无限远处，就认为能走出去）。如果不能的话，LHX就只好启动城堡的毁灭程序了……当然不到万不得已，他不想这么做。。。
样例
多组输入输出，n,m小于1500
5 4
##.#
##S#
#..#
#.##
#..#
5 4
##.#
##S#
#..#
..#.
#.##
Yes
No
思路
因为是走到无穷远的，x,y取模表示走到无穷远相同地图的位置。判断一下这个点是否走到过，且此时的坐标是否相等，如果相等就代表还是在同一张地图里，如果不相等就说明走到了这个点的无穷远。
其实就是问一下这张图上能否连通
代码片（内含详细注释）
#include