三门问题（Monty Hall problem）

三门问题，亦称为蒙特霍尔（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人Monty Hall。这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊或者是后面没有任何东西。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率？
先把答案说了，在理论的层面上是选择换一扇门，换门中奖的概率是2/3，不换门中奖的概率是1/3。下面看分析。

分析一

由于只有三个选项，用穷举法全部列出来，假如汽车在1号门后面：

选择几号门	是否换门	事件概率	是否中奖
1	换	1/6	不中奖
2	换	1/6	中奖
3	换	1/6	中奖
1	不换	1/6	中奖
2	不换	1/6	不中奖
3	不换	1/6	不中奖

如上面的表格所示，在选择1号门不换和选择2、3号门换的三种情况下会中奖，所以选择换门中奖的概率是2/3，不换门中奖的概率为1/3。

分析二

看一下贝叶斯老爷子会怎么解这道题
贝叶斯公式这样子定义的：

P(A|B)= P(B|A)P(A)P(B) P ( B | A ) P ( A ) P ( B )

其中，P(A|B)表示在事件B发生的前提下，事件A发生的概率； P(B|A)表示在事件A发生的前提下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
选手最初的选择是1号门，主持人打开的是2号门，那么问题就变成了 计算下面三个概率
  P(汽车在1号门|最初选择1号门，主持人打开2号门) = (1/3 * 1/2) * 1/3 / (1/3 * 1/2) = 1/3(汽车在1号门的话，主持人可以任意打开2号、3号门中的一扇，打开B门的概率自然就是1/2)
  P(汽车在2号门|最初选择1号门，主持人打开2号门) = (1/3 * 0) * 1/3 / (1/3 * 1/2) = 0
  P(汽车在3号门|最初选择1号门，主持人打开2号门) = (1/3 * 1) * 1/3 / (1/3 * 1/2) = 2/3
所以，在最初选择1号门，主持人打开2号门的前提下，汽车在3号门的概率是最高的，因此选择换门

后记
这个例子是在知乎上看到的，觉得很有趣，记录一下：
假设我们有100扇而不是3扇门，只有一扇门后面有你想要的汽车，其他门后面居然全部都是羊驼。这个时候你选择了1号门，你想这种百里挑一的机会我怎么可能中呢，还是回家洗洗睡了吧。正当你要绝望的时候，突然主持人跳了出来说：我可以把剩下的98扇是羊驼的门打开，然后你再来决定换不换如何？ 于是出现了以下场景：主持人好心地帮你打开了剩下是羊驼的98扇门，留下了37号门和你原先选择的1号门。这个时候我问你，凭你的直觉，汽车会在哪扇门后面呢，你换不换呢？
按照上面的两种分析方法，可以得到，在这个例子中，换门中奖的概率是99%，不换门中奖的概率是1%。
这个时候就会发现，这个问题的关键点在于，主持人知道汽车在哪扇门后面，他不会打开有汽车的门。
如果主持人也不知道汽车在哪扇门后面，他也是随机打开门，那答案就和我们的直觉是一样的，换与不换都一样