【GDOI 2016模拟3.9】暴走的图灵机

题目描述

你有 l 和 r 两个字符串，初始 l="0",r="1" ，每轮操作定义如下。

• 将 r 变成原来的 l+ 原来的 r ，这里的 + 表示将两个字符串连接起来
• 将 l 变成原来的 l

给定一个长度为 m 的匹配串 s ，问操作 n 次后， l 中包含了多少个 s 作为子串，答案对 p 取模。

n≤109,m≤104,0<p≤109

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分析

类似于斐波那契数的斐波那契串，名字是我随便取的。
考虑某轮操作完得到的新串 S ，有 S=l+r
那么 S 所包含的匹配串数（记为 VS ），有 VS=Vl+Vr+C
其中 C 表示跨过 l,r 分界线的匹配串数。
那么问题就变成如何求 C 。
实际上考虑匹配串长度只有 104 ，我们只要保留 l 串的后 m−1 位，以及 r 串的前 m−1 位，将它们拼在一起做一次KMP就可以的得到了。

但是这里 n 很大。
考虑假如不存在 C ，求这个东西可以用矩阵乘法。
这里存在 C 了，但是当 l 和 r 的长度超过 2m−2 时，两者的前 m−1 个字符和后 m−1 个字符就基本不会变了（只会有四组可能的字符）。
于是我们先暴力算 l 和 r ，直到它们两者的长度都至少为 2m−2
那么这里只需要找到循环节，算出循环那么多次的转移矩阵，利用矩阵乘法求出 Vln 就可以了。

时间复杂度 O(km+33logn) ，其中 k 是满足 fibk≥2m−2 最小的一个。
空间复杂度 O(m)