捉虱子的博弈论

以下摘自《人性中的善良天使》的一章《心魔》，这里谈的是博弈论：
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当人们的利益开始有一部分不一致 ，一方有可能利用对方的合作意愿为自己谋利的时候 ，他们之间的合作就不太容易解释了 。正和博弈的囚徒困境是描述此类难题最简单的模型 。想象一下 ， 《法律与秩序 》连续剧中的一个场景 ，两个犯罪同伙 （ “左撇子 ”和 “布鲁特斯 ” ）分别被关在两个牢房内 ，指控他们有罪的证据不够充分 ，于是区助理检察官分别向两个人提出谈判条件 。如果两人中的左撇子作证指控同伙布鲁特斯 （ “背叛 ” ） ，而布鲁特斯仍忠实于左撇子 （即继续与同伴保持 “合作 ” ） ，左撇子将获释 ，而布鲁特斯将被监禁 1 0年 ；反之亦然 。而如果两人互相背叛 ，作证指认对方犯罪 ，两人都将进监狱 ，但两人的刑期被减到 6年 。如果两人都保持忠诚 ，检察官只能指控他们较轻的罪名 ，两人至多在牢狱里蹲上 6个月 。图 8 5是这一困境的偿付矩阵 ，黑色字是第一个囚犯左撇子的选择和回报 ，灰色字是左撇子的同伙布鲁特斯的选择和回报 。图 8 5囚徒困境他们的悲剧是 ，两人本应合作 ，奖赏是仅仅 6个月的刑期 ，博弈得到最大正数解 ，但两人都会选择背叛 ，因为他们都想到对自己最有利的两个结果 ：如果同伴忠诚 ，自己能获得自由 ；如果同伴背叛 ，自己也只是得到 6年刑期 ，而选择忠诚自己却有可能得到 1 0年刑期 。所以 ，他选择背叛 。而他的同伙出于同样推理 ，也选择背叛 。如果他们都能依据利他原则做选择 ，本来可以只坐 6个月的牢，但两人的自私自利让他们最后各得 6年刑期 。
囚徒困境被人们称为 2 0世纪最伟大的思想之一 ，它将社会生活的悲剧提炼成一个极为简洁的公式 。当同伙忠诚于合作 ，当事人却背叛同伙时能得到最大收益；当同伙背叛 ，当事人仍忠诚于合作时会得到最严厉的惩罚 ；两个人都坚持合作 ，总收益最大 ；而两人都背叛对方 ，总收益最小 ——每当面对这些选择 ，人类立刻就陷入困境。
一次性的囚徒困境结果当然很悲剧 ，但生活中更常见的是重复囚徒困境 ，参与者连续互动 ，经过数轮博弈得到最后结果。如果假定重复囚徒博弈的收益不是监狱和钞票 ，而是后裔的数量 ，或许可以更好地说明合作的演化 。重复囚徒困境下虚拟生物之间就互助机会或者不愿意帮助其他人 ——如相互梳理毛发 ，进行博弈 ，收益是身体的健康 ，成本是花费的时间 ，长期而言都可以转化为后代的数量 。重复博弈就像自然选择下的生物代际演化 ，我们可以观察哪些竞争策略在数代人之后逐渐成为大多数人的选择 。各种组合可能性的数量之大 ，很难进行数学证明 ，但是这些策略可以编程 ，一个简单的计算机应用程序即可让各种组合进行循环竞赛 。这些原本仅仅是理论家们的假设 ，有了计算机之后 ，他们可以清楚地观察各方和各种策略在虚拟进化中的斗争过程 。第一轮竞争由政治学家罗伯特 ·阿克塞尔罗德 （ R o b e r t A x e l r o d ）主持 ，获胜的策略是简单的 “针锋相对 ”或 “一报还一报 ”（ T i t f o r T a t ） ：第一步是合作 ，接着 ，如果同伴也合作 ，就继续合作 ；但如果同伴背叛 ，就开始背叛 。因为合作得到奖赏 ，背叛受到惩罚 ，因此背叛者会改换行为 ，转为合作 ，长此以往 ，每个人都是赢家。
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以上摘录完毕，先喘口气 . . .

我所感兴趣的是：“但是这些策略可以编程 一个简单的计算机应用程序即可让各种组合进行循环竞赛。”我设计的模型如下：

假设有一群猴子，由于居住地卫生条件不佳，他们的身上会定期长出虱子，如果虱子达到一定数量，猴子就会死去。猴子不能给自己捉虱子，它只能依靠别的猴子帮它捉虱子，以将虱子的数量控制在致命水平之下。
猴群中的猴子进行多轮博弈，一轮中又包括多个回合。每一轮开始前所有猴子按随机方式两两结对，然后你来我往进行4个回合的捉虱子，本轮结束后再重新结对进入下一轮博弈。
猴子按其采取的不同策略分为三个阵营（大组）：
1） 仁爱组：本组的猴子品格十分高尚，具有毫不利己，专门利人的精神，不管对方的策略如何，总是选择合作，即无条件地帮对方捉虱子
2） 理性自利组：本组的猴子信奉“一报还一报”（Tit for tat）的人生哲学，如果首回合它是被动方，它会观察对方的行为，并在下回合进行模仿：比如对方选择合作，那么它在下回合选择合作，如果对方选择背叛，那么它在下回合选择背叛，之后的回合以此类推。如果首回合它是主动方，它会首先会选择合作，之后会回到前面的策略。
3） 搭便车组：这种猴子是仁爱组的反面，巧取豪夺，不劳而获，只顾自己，完全不考虑的他人利益。所以不管对方的策略如何，总是选择背叛。
当某只猴子因身上的虱子过多而死亡时，我们假设它的基因没能传递下去，其空出的位置将由一只新生的来自另外两个阵营的猴子代替，具体是哪个阵营由随机数决定。最后出现来自某个阵营中的猴子完全灭绝时，博弈结束。
根据以上的模型，我编写一个程序，之后进行了四次测试，每局开始时各阵营的猴子数不同，但总数都是1200只，其结果如下：
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其中Round是博弈轮次，Round0代表第0轮，即博弈开始之前的情况，GOOD代表当前仁爱者猴子数量，MEDIUM代表理性自利组数量，BAD代表搭便车组数量，Killed代表死于寄生虫的猴子总数，K/R代表平均到每轮死于寄生虫的猴子数量，最后这个指标可以表示猴群中总的痛苦指数，数值越大说明猴群中痛苦指数越高。
在第一局中，开始GOOD / MEDIUM / BAD是 400 / 400 / 400 平均分布，经过110轮
博弈，搭便车组灭绝，它的位置被仁爱组和理性自利组平分，总共755只，平均每轮6只猴子死于非命。
在第二局中，开始GOOD / MEDIUM / BAD是 1000 / 100 / 100 分布，经过167万轮博弈，搭便车组灭绝，它的位置被仁爱组和理性自利组平分，总共近4千万，平均每轮23只猴子死于非命。
在第三局中，开始GOOD / MEDIUM / BAD是 100 / 1000 / 100 分布，经过13轮博弈，搭便车组灭绝，它的位置被被仁爱组和理性自利组平分，总共100只，平均每轮7只猴子死于非命。
在第四局中，开始GOOD / MEDIUM / BAD是 100 / 100 / 1000 分布，经过44轮博弈，搭便车组灭绝，它的位置被仁爱组和理性自利组平分，总共1206只，平均每轮27只猴子死于非命。


几点感想：


在所有测试中，无论开始时占据多少比例，搭便车组都没有逃脱灭绝的命运，其中在理性自利组占绝对优势的第三局中创下了最快灭绝记录，仅仅过了13轮便全军覆没，此时另外两个阵营还没有任何损失。另外出人意料地，它在开始时占据绝对优势的第四局中灭绝的也相当快。可能是因为坏人数量大爆发后，只有背叛没有合作，在创造最大的痛苦指数之后，大家一块玩儿完，从而把位置留给了其他阵营。所以说不劳而获，巧取豪夺者即使得逞于一时，从长远角度看终将是害人害己，没有出路。
不过且慢，在仁爱组占绝对优势的第二局中，懒惰者坚持了167万轮才宣告退出历史舞台，如果每轮代表一个世代，这可就是几千万年，在这么大的时间尺度上再说坏人的失败毫无意义，因为那时很大概率整个人类也早已灭绝了。第二局不仅耗时接近于无穷，而且每轮的痛苦指数也不低，其原因不过就是来自仁爱组的滥好人数量过多，从而给了坏人可乘之机。老子《道德经》里说的“圣人不死，大盗不止”大概就是这个意思，总之量产雷锋可不像什么好主意。
和一般人的印象不同，我猜孔子也不属于仁爱组，据《论语》中记载，有人问孔子，“以德报怨，何如？”，孔子回答“何以报德？以直报怨，以德报德”。这不就是“一报还一报”的策略么。最后看看理性自利组的表现，它们不但在开局占优的第三局中保持了优势，干净利索地送搭便车组下车。在其它三局中也至少取得了半壁江山，特别是第二局和第四局是以劣势开局之后的咸鱼翻身。另外无论在均势开局的第一局和它优势开局的第三局，每轮的痛苦指数都很低。可谓是做到了“达则兼济天下，穷则独善其身”。所以我得出的结论和《人性中的善良天使》中的结论一样：光荣属于理性自利组。
我的代码参见 https://github.com/sunxiaoou/TIJ4/blob/master/tmp/CatchBug.java