Note on CFT

引

很早就想整理一下 Xi Yin 2017 TASI lecture 的笔记。又是一个CFT的讲义，可是让我有耳目一新的感觉。不是从QFT的角度，而是从另一个比较新的operator algebra的角度来理解的。这正好和我lie代数的背景相契合。大概看了3遍，每看一遍都想写点什么，不过在这第三遍，我才找到了我自己的一个比较喜欢的角度。

QFT的3个表述

1. 拉氏量和路径积分：理论推导上简洁好用，物理图像也清晰，构造有效理论和使用微扰论都很方便，但是路径积分本身并不总是数学上well defined。
2. 哈密顿量和UV正规化：如果可以用网格分割空间，把场看做一个“弹簧床”，就可以用正则量子力学，然后在让网格趋近0取连续的极限。
3. operator(算符)代数：最本质 的表述。因为有些时候场论很可能写不出一个拉氏量，但是场论还是可以被定义的。类似一般几何可以用metric来表述，但是所有的几何空间都可以写出一个local的metric。这一点也挺有意思的：如何定义一个场论。
   这样的问题，在物理上似乎还有点陌生。我们构造物理理论来描述自然规律，这个构造过程就是一个定义的过程。但是当自然规律我们并不知道的时候，我们该怎么办呢？可能这个时候就需要数学的帮助了吧。大部分(不是所有)的QFT可以通过RG flow由CFT 得到。

Yin老师这个讲义核心就是如何定义CFT, 如果想象所有的CFT构成一个空间的话，我们就是要想办法游历整个空间。既然已经知道L和H是不足够的，那么自然剩下的可能就是operator algebra。
这也给我提供了一个理解这个核心的方法，就是把CFT当做一个algebra. 然后用Lie代数的一些想法或是思维来理解CFT。

conformal

CFT具有共形对称。共形对称包含转动不变，再加上一般假设的平移不变，与这两个不变相对应的守恒currents就是stress-energy tensor: T。额外的共形对称要求这个tensor的trace是0 (在弯曲时空可能存在anomaly，可以理解为量子化与共性对称不自洽。这时trace 和 弯曲空间的Ricci scalar 成正比，比例系数称为central charge，是CFT的一个重要参数。)。
在二维空间，共形对称由Virasoro代数描述。一般的都对称性都是由李代数描述，但是李代数生成元一般是有限个的，但是共性对称对应的代数具有无穷多个生成元。这些生成元作用在CFT的量子态上。也可以说CFT的量子态构成了共性对称的一个表示。这个表示可以分解为很多不同的不可约表示，由不同primary state来区别。在不同的不可约表示里，对primary state作用所有可能的生成元就生成了整个在这个不可约表示里的量子态。我们已经知道生成元有Virasoro的代数结果，那么量子态也应该继承了这个结构。的确如此，对于2维的CFT, 存在一个state/local operator的对应，就是每个量子态都对应了一个local的operator，然后这些local operator在OPE （operator production expansion）就构成了同样的Virasoro 代数。

稍微回忆一下QFT
对于QFT, 因为具有洛伦兹对称，量子态应该被Lorentz群不可约表示分类，然后每一个不可约表示都可以独立作为一个量子场论来研究，比如scalar field, spin field, vector field，这些不同表示由自旋s来表征分类，而自旋只能取整数或半整数。
但是在CFT里，表征不同primary state 的参量h和central charge c的取值并没有被代数本身限制。这就是CFT比较难以理解难以分类的原因。因为我们考虑所有可能的h。

我们可以利用额外的假设对h进行限制。比如我们要求CFT是unitary的, 那么利用量子态的模的正定性确定 h一定非负的。利用一个不可约表示的完备性我们可以确定当central charge c大于等于1的时候，unitarity并不会对h再有限制，但是当c小于1并且取一些特殊值的时候，h就只能取一些特殊的值，这些CFTs称为minimal models。

确定h和c我们只确定了CFT里可能存在的量子态(spectrum)，我们要知道不同的量子态之间的关系。因为每一个量子态都对应了一个operator，这些operator在OPE下构成了一个更大的代数关系成为operator algebra。对CFT的分量就是对这个algebra的分类。

operator algebra的限制：cross symmetry and modular invariance

现在我们就可以把CFT理解为 一个operator algebra, 进行分类的话当然需要一些限定条件。比如李代数的结构常数要满足Jacobi等式。
类似的，operator algebra的"结构常数"有两部分，一部分还是常数C,还有一部分称为conformal block（F），如果 F 完全可以由Virasoro来确定，就可以说是一种bootstrap，比如对于二维的CFT, F就可以完全bootstrap出来。对于计算F, 文献中有一些特殊的技巧，但是最常用的也是用计算机来实现就是利用递推公式。剩下的就只有这个常数部分了，就可以去掉引号，真的就是结构常数了。这个结构常数就是描述了不同不可约表示下的态是如何相互作用转化的。对于结构常数的限制就来自于，如果我们把背景空间分成不同的区域进行计算时，不同的分割方法应该是等价的。这个等价最终可以归结为cross symmetry 和 modular invariance。利用这两个限制条件可以得到结构常数需要满足的方程。求解这些方程就是对CFT进行分类，但是要想求解这些方程首先要知道所有的conformal block。所以这是一个极其困难的问题。反过来，如果我们假设某些结构常数不为零，那么cross symmetry 和 modular invariance也可以看做是对conformal block的限制，利用这些限制，我们对CFT中的物理量做出一些限制。

总结

CFT 可以理解为一个代数结构，定义这个结构我们需要先选定 central charge c还有不可约表示h，还有结构常数。这些结构常数被cross symmetry and modular invariance 限制。远远不像对李代数的分类，我们离对CFT分类还是有很远的距离的。用Yin老师的话就是说，很尴尬地我们对CFT还只是一知半解。

还有一章是对现在已知的CFT的归类总结：

1.free boson 包括尤其构造的Narain lattice
2.具有离散对称性的CFT: Orbifold CFT
3.具有连续对称的CFT: WZW and coset models
4.具有高自旋守恒量的vertex algebra： W algebra
5.超对称的CFT：SCFT
6.non-linear sigma model (NLSM)：string theory 等
7.在Calabi-Yau上的超对称的 NLSM
8.RG flow 下的CFT

最后还有一些具体的进展，主要是一些数值计算的结果.