LeetCode：300. 最长上升子序列（python）

LeetCode：300. 最长上升子序列（python）

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

LeetCode 链接

思路1：动态规划

• 确定状态和选择
  • 状态：序列 0~i，最终状态为序列 0~n-1，n 为序列的长度，则用 dp[i] 记录当前位置 i 处的最长上升子序列的长度。
  • 选择：计算 dp[i] ，若 nums[i]>nums[j] ，0<=j，则判断 dp[j]+1 大于 dp[i]，若是则更新 dp[i]。因此有 i-1 种选择，需要通过两次遍历求解，时间复杂度为 $O(n^2)$。

附代码1（Python3）：

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums):
        if not nums: 
            return 0
        
        n, res = len(nums), 1    # 序列长度和初始化最长上升子序列长度
        dp = [1]*n               # 初始化 dp
        for i in range(1, n):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)    # 更新 dp
            res = max(res, dp[i])                  # 更新最长上升子序列长度
        return res

test = Solution()
nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
test.lengthOfLIS(nums)

4

思路2：二分法求解

• 按顺序将序列 0~n-1 的值插入到数组的尾端，数组要求从大到小排序，若无法插入，则添加一个包含该值的新数组；遍历结束后，数组的个数即为最长上升子序列的长度
• 通过二分法查找合适的插入位置，比较当前值与每个数组的尾端的值大小
• 整体时间复杂度为 $O(nlogn)$

附代码2（Python3）：

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums):
        if not nums:
            return 0
        
        top = []                           # 整体数组
        for i in range(len(nums)):
            # 二分查找插入数组
            left, right = 0, len(top)-1    # 左右边界索引
            while left <= right:          
                mid = (left+right)//2      # 左中位数
                if top[mid][-1] < nums[i]:
                    left = mid+1
                else:
                    right = mid-1
            # 若 left 等于数组的个数，则需要添加新数组；否则，在 left 数组尾部添加新值
            if left == len(top):
                top.append([nums[i]])
            else:
                top[left].append(nums[i])
        return len(top)

test = Solution()
nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
test.lengthOfLIS(nums)

4

思路4：二分法求解优化

• 二分法查找数组时只需要查看数组的最后一个值，并不需要记录数组的所有值，只需要将最后一个值记录即可，因此用一维数组代替整体数组（二维数组）。

附代码4（Python）：

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums):
        if not nums:
            return 0
        
        top = []                           
        for i in range(len(nums)):
            # 二分查找
            left, right = 0, len(top)-1    # 左右边界索引
            while left <= right:          
                mid = (left+right)//2      # 左中位数
                if top[mid] < nums[i]:
                    left = mid+1
                else:
                    right = mid-1
            # 若 left 等于数组长度，则需要添加新值；否则，在 left 位置的值覆盖为新值
            if left == len(top):
                top.append(nums[i])
            else:
                top[left] = nums[i]
        return len(top)

test = Solution()
nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
test.lengthOfLIS(nums)

4

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参考：

LeetCode 题解