区间DP(石子合并问题)

石子合并原题链接

题目描述

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；
如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。
第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。
1≤N≤300

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

讲解：数组dp[i][j]为从第i堆石子到第j堆石子的最小花费，那么最后dp[1][n]就是答案
sum[i][j]表示从i到j的区间和
最重要的状态转移方程dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][jj-i+1])i<=k<=j
在下面的代码中sum可以用一维数组来代替sum[i][j]=sum[j]-sum[i];
注意：因为有三个for循环时间复杂度很庞大，只能解决n<250的题目

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
const int inf=0x3f3f3f3f;
using namespace std;
const int maxn=305;
int main(){
    int n;
    int dp[maxn][maxn],sum[maxn],a[maxn];//sum数组sum[a]表式为1-a的石子数量和
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        dp[i][i]=0;
    }
    for(int len=1;len<n;len++){//枚举小区间的长度
        for(int i=1;i+len<=n;i++){//枚举起点
            int j=len+i;//区间的终点
            dp[i][j]=inf;
            for(int k=i;k<j;k++){
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);
}

平行四边形优化

那有没有优化的方法呢？前两层是不可以优化的，但是最后的在i-j中寻找临界点在多个子区间是重复的，是可以优化的，用一个二维数组保存子区间的最优临界点，下一次循环就可以避免重复计算了，降低时间复杂度

平行四边形优化，是一种在一类区间动规中减少时间复杂度的方法。
有方程：m(i,j)=min(m(i,k)+m(k+1,j)+w(i,j)),s(i,j)为最优点取到值。
公式：如果有w(i, j)+w(i′, j′)≤w(i′, j)+w(i, j′) 那么我们称函数 w 满足四边形不等式。
　　　就有s(i, j)≤s(i, j + 1)≤s(i + 1, j + 1)

第三重循环可以从区间[i,j-1)枚举优化到区间s[i][j-1],s[i+1][j]的枚举
优化后可以解决n<3000的问题

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
const int inf=0x3f3f3f3f;
using namespace std;
const int maxn=305;
int main(){
    int n;
    int dp[maxn][maxn],sum[maxn],a,s[maxn][maxn];
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){//初始化
        scanf("%d",&a);
        sum[i]=sum[i-1]+a;
        dp[i][i]=0;
        s[i][i]=i;
    }
    for(int len=1;len<n;len++){//枚举小区间的长度
        for(int i=1;i+len<=n;i++){//枚举起点
            int j=len+i;//区间的终点
            dp[i][j]=inf;
            for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]){
                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);
}