拜占庭将军问题。口头算法OM(n.m);n=3m+1

一、拜占庭问题的背景这里就不再介绍直接说算法：

下面的这个截图是从Lamport发表的论文中截取的：

对于这个算法需要说明的是：

(1) 在第一轮 将军会把消息发送给所有的副官，第i个副官收到的记为 Vi。如 1(这里代表的是Attack)

(2) 在第二轮里面，Li(即第i个副官)会怀疑将军发来的消息Vi是对还是错，于是他会问其余的副官。这样他就会得到剩下的(n-2)个副官的值。 i从1到n-1，所以每个副官都会得到剩余的n-2个副官手里的Vi。在这一步骤里，忠诚的副官j会直接将自己的 Vj发送给其它人。叛徒则会发假消息。

在n=7,m=2的时候 如果将军是忠臣的话，那么在第二轮忠诚的副官确实已经可以判断出要做的决定，因为他们会收到(1 1 1 0 0 )再加上将军发来的1就是 1 1 1 1 0 0 但是这个算法是递归的所有必须要到第三轮。并且如果将军是个叛徒的话，那么第二轮有情形是做不出决定的。

这里对进入第三轮的解释是，如L1收到其它L2~L6发来的Vj, 但是他要怀疑准确性，比如L1会想L2发给自己是否是正确的呢？那么就进入第三轮进行投票。

(3)在第三轮里面，接着(2)中后面的问题。L1会依次询问L3,4,5,6 ，问他们上一轮L2给他们发了什么，然后L1会得到在(2)中 L2->L3, L2->L4,L2->L5, L2->L6的值 这样再结合自己的L2->L1的值，从这5个里面用majority函数投出决定得到L2发给自己的消息值。依次再进行L3,L4,L5,L6在第二轮中发给自己的消息的确认。

这样L1就完成了第二轮的确认。之后L1再从第一步中将军发给自己的vi和第二轮中确定的5个值中投出自己的决定。

其余的L2，L3.等等也进行同样的步骤。

二、好像算法是挺绕的，如果还是没清晰的话，直接看下面的过程：

这里需要注意的是：Lamport提出的容错的两个条件

IC1：即所有的忠诚的副官要遵守同一个命令，即达成一致；

IC2：假如将军是忠诚的，那么每一个忠诚的副官都应该按照将军的意思行事。

这里将军是叛徒，所以只要满足IC1条件即可。

Step1 : C给L1~L6 依次发 A R A R A x  （A，R代表攻击和撤退，这里因为C是叛徒，所以可以随便发给L1-L5消息，这里只是一个例子，可以用其他的值，只要最后满足IC1就可以）

截图是Step2： 

Step3：其实在第三步中 L1会依次确认在step2中, L2~L6发给自己的信息. 例如确认L2时 会问L3-L6,在Step2中L2发给你们了什么

最后得到 R, R, R,X （因为L6这时候肯定又说谎） 再结合自己的R , L1确定在Step2中收到L2发来的是R，之后又确认了L3-L6。大家可以自己在草稿纸上画出。

其实因为L1-L5都是忠诚，他们不会在Step2中撒谎，所以只需投票L6即可 ，(A R A R A )是L6发给L1-L5的信息，最后投出发的是A ， 将A修改到step2中L1-L5收到的

信息中其余的信息可以不用改。

最后得到L1-L5均是 4个A， 2个R。 以L1为例=R  A  R  A  A  A 

即L1~L5达成了一致。

三、下面来看签名时候的情形：(详细的关于签名的算法见下一篇博客)

在lamport的论文中提到：

签名就是说每次发送信息都要签署上自己的名字，然后再发给别人。而别人只可以在这条消息上复制然后再转发出去。这样就变的简单了，

而且

1）忠诚司令的签名不可伪造，内容修改可以被检测出来。

2）任何人都可以识别司令的签名，叛徒可以伪造叛徒司令的签名。

http://blog.csdn.net/michael_kong_nju/article/details/17612969 （详细介绍签名算法）

四、下面来看相关的证明。

证明1： 为什么在没有签名的情况下，n>3m即可容错？

在Lamport的论文中，在证明OM(m)在最多只有m个叛徒，以及超过3m个将军的时候可以满足IC（1）和IC（2）条件的时候，先引入了一个引理：

LEMMA1：对于 任意m 和k ，如果有超过2k+m 个将军和最多k 个背叛者，那么算法OM(m) 满足IC2 （回顾下IC2 指的是，如果将军是忠诚的，所有的副官遵守将军命令）。

证明：（1）当m=0的时候，如果将军是忠诚的，因为在OM(0)的时候忠臣会遵守将军发来的命令。而此时的将军是忠臣的所以，即满足IC2

      （2）当m>0的时候。用数学归纳法，通过证明OM(m-1)有效来证明。因为假设了n>2k+m,在OM(m-1)时剩余的将军数是n-1,但是叛徒数仍然是k(因为上1轮中的将军是忠臣)，n>2k+m -> n-1>2k+m-1. 又m-1>=0 -> n-1>2k. 即在OM(m-1)中有忠诚的副官比叛徒多，所以可以投票得出正确结果。在O（m-1）时可证。

接着证明“证明1”中的问题：

证明：通过m的归纳法证明，我们通过假设OM(m-1) 成立来证明OM(m) m>0。

（1）首先考虑发送命令的将军是忠诚的。那么将引理中k 设为m 则OM(m) 满足IC2 ，IC1 在发令将军是忠诚的情况下也满足。 

（2）如果发送命令的将军是叛徒。那么在下一轮中，总共有3m个副官，其中有m-1个副官是叛徒，有3m-(m-1)=2m+1个忠臣,

2m+1>m-1 即 在这里所有的忠臣是可以达成一致的（这一步是为了说明OM（m-1）是成立的）。下面再推出OM（m-1）的表达式：这里除去要发送命令的一个将军外还有超过3m-1个，有3m-1>3(m-1) 即 n'>3m'，所以在OM(m-1)是满足条件的，得证。 

在这里也同时证明了为什么是m+1轮交换。因为OM（m）满足。m->0 共 m+1;