2016BITCS小学期程序设计简要题解

2016BITCS小学期程序设计简要题解

球体问题 By CFhM_R

设球缺的高为h，由于题目中说明d>max(R1,R2)且d<(R1+R2)，所以两个球“镶嵌”而损失的体积不会超过球体的 1/2 , 因此直接积分可以得出球的体积公式。

正视球缺，设由于“镶嵌”损失的劣弧所对的圆心角为 θ ，考虑球表面积的积分方法，对 θ 取值限定范围易得 S=2πRh 。

注意本题的 π 的新的定义。

---

修剪草坪 By CFhM_R

可以证明，对于一个合法的点，必为这一行或这一列的最大值，否则需要改变一行或一列的值来达到这一值。

---

扫雷 By CFhM_R

直接模拟即可，可以把所有有雷的位置变成1，其他为0， O(n2) 扫描时对每个为0的点输出其周围8个人的和即可。

---

合并果子 By CFhM_R

经典贪心。

• O(n2) 暴力可做，由于数据范围不大，每次取最小的两个合并后加入原数组中直到剩下最后一个即可。

• O(nlogn) 解法：首先证明每次合并的结果 是非递减的，因为每次合并都取当前堆中最小的两个进行合并，所以本次合并的结果一定不小于前次合并的结果，否则推出矛盾。

  因此可以用两个数组对原始的果子和合并后的果子分别进行维护，对原始果子按照升序排序后两数组都是非递减的，每次更新仅取数组头部的较小者进行合并即可。

• O(n) 解法：这个优化是对于排序的，因为题目中说 1<=ai<=10000 ，所以可以利用数组下标的线性性质来维护元素的序关系（计数排序），即一个数组cnt[]，对于一个元素 ai ，进行操作cnt[ ai ]++表示该元素出现了一次，之后顺序遍历整个数组，寻找值不为0的元素对应的下标即为果子的数目。

---

传送带 By CFhM_R

考虑可以加速的部分是优先让快的更快还是慢的变快，显然 v0→v 的转变不如 ∞→v 对结果的贡献大，因此得到贪心策略是优先让最慢的变快，注意讨论不能使完整的一段路加速的情况。

---

贪婪的你 By CFhM_R

倒着贪心，按截止日期从大到小排序，对每个日期选择分值最大的。

---

蜜汁序列 By V5ZSQ

贪心，因为后面数被分成几段并不会影响前面的数，故从后往前扫，给出两个结论 ：

      1. 每次从后往前扫遇到的第一个负数一定是某个段的末尾。如果这个负数是某一段中间值，由于其后面都是非负的，而且后面的数影响不到前面的前缀和，那么将后面的非负值单独拿出来作为一个段显然更优； 
      2. 每次从后往前扫遇见第一个负数之后，不妨令这个负数下标为i，往前找离i最近的j使得a[j]+…+a[i]>=0，从j到i作为一段显然是合法的，且是最优的，因为如果选择一个小于j的k，使得k到i作为合法的一段，显然不如分割成k到j-1作为一段，j到i作为一段（由k到i合法和j到i合法轻易知道k到j-1和j到i也是合法的）。       所以做法就是从后往前扫，遇见非负数直接将其看作一段，遇见负数就往前找并且累加和，只要累加值非负就当做一段。

---

a+b By CFhM_R

直接用字符串模拟即可，注意特殊情况

• 给出前置零和后置零
• 小数加和变成整数去掉小数点
• 整数以小数形式表示
• 没有整数部分仅有小数点+小数部分

---

一夜发白《千字文》 By CFhM_R

字符编码，每次读字符并利用位运算判断这个字究竟是几个字符组成的，之后读入剩下的字符并且用16进制表达。数据比较水最多只有3个字符的情况。

---

9的统计 By CFhM_R

高精度计数。首先将求区间 [L,R] 数量转换为求 [0,R] 和 [0,L] 的数量后二者做差。

其次简单推导可知，一个数 n=anan−1⋯a1a0 ( ai 表示这个数的第 i 位)，则 [0,n] 的数字中包含9的个数为 ∑ni=1ai∗10i−ai∗9i ,原理即算出所有数字种数减去不含9的，这个公式可以适用于所有不含某一特定数字的数量。

最后是一些细节问题，比如本题需要用压缩进制法节约空间，由于一个int最多可以完整表示8位数字的范围，所以我们采用8位压缩，即一个int表示大数的8位，这样可以节省不少的空间，而且每两个int之间的运算可以直接进行，记录进位即可。

---

识别条形码 By CFhM_R

由于至少有一个宽条，所以认为最大的一个是宽条，确定一个区间，之后对每一个条都按他是宽的计算区间求交，窄的转换成宽的计算，如果发现有两个交集为空说明非法，否则有解。

---

平面上的邮局 By CFhM_R

对x，y坐标分别排序后找中位数。

---

比赛计分问题 By CFhM_R

结构体排序裸题。

注意就是并列的情况，两个人并列第一之后接下来的人是第三。

---

谁更机智 By V5ZSQ

看似博弈，其实是dp，因为题面已经给出了最佳策略，按最佳策略模拟即可。首先对所有数排序，以dp[i]表示剩下前i个数时，先取数的人能够达到的分数差最大值，那么有 

dp[0]=0 
dp[1]=a[1]-dp[0]=a[1] 
dp[2]=max(a[2]-dp[1],a[1]-dp[0])=max(a[2]-dp[1],a[1])=max(a[2]-dp[1],dp[1]) 
dp[3]=max(a[3]-dp[2],a[2]-dp[1],a[1]-dp[0])=max(a[3]-dp[2],dp[2]) 
…… 
dp[n]=max(a[n]-dp[n-1],dp[n-1]) 
O(n)递推即可 

---

电话号码问题 By CFhM_R

首先判断合法性。

读入之后转换字母映射，去掉连字符，之后看总位数是否为7位，以及第一位是否为3或6。

其次判重。

因为内存空间不足所以依然要进制压缩，这里用二进制表示一个状态的存在或不存在，运用一个简单的道理：商乘除数加余数，我们可以把一个数分解成他除以某个数的商以及余数，余数又可以用二进制位来记录。一个int恰好32位，所以模32。

新开数组记录重复的部分，每次线性查找就行，题目说了这个不多，所以不需要优化。

---