RankSize的演化历史

• 1913年，F.Auerbach使用欧洲五国及美国的城市人口数据建立了关系式
  $$P_i\ast R_i=K$$
  Pi为第i级城市的人口规模；Ri为第i级城市的位序（排名）；K为常数

• 1925年，E.P.Goodrich使用美国1890-1920的城市人口数据建立了模型
  $$log{P}_1=logN+loga-\frac{1}{2}\ast log2$$
  P₁是最大城市的人口规模，a是最小城市的人口规模，N是所有大于a的城市总数

• 1925年，A.J.Lotka使用1920年美国100位城市的人口资料得到
  $${P_1{R}_1}^{0.93}=5000000$$
  相比于2模型，该模型允许城市位序变量有一个幂指数

• 1936年，H.W.Singer提出了一般意义的模型 （称呼位序规模法则？）
  $$log{R}_i=logK-\alpha log{P}_i$$

• 1949年，G.K.Zipf提出在经济发达国家里，城市体系的城市规模分布可用简单的公式表达
  $$P_r=\frac{P_1}{R}$$
  式中R为城市位序，P_r为第r位城市的人口

• 1957年，Aitchison，提出了Singer模型的翻版
  $$R_i=K{P_i}^{-\alpha }$$
  α在一定条件下被视为常数，K为比例系数，但K的地理意义不明确

• 1958年，F.T.Moore提出更为准确的模型
  $$P_i{R_i}^q=P_1或P_I=\frac{P_1}{R_i^q}$$
  上式可以进行对数变换
  $$ln{P}_i=ln{P}_1-qln{R}_i$$
  P₁为最大城市的人口规模
  该式即RankSize的通用公式，很多人习惯上称为Zipf公式， 而严格意义上讲Zipf在1949年给出的模型只是q=1时的一种特例。

参考文献：

陈彦光, 刘继生. 城市规模分布的分形和分维[J]. 人文地理, 1999(02):48-53.