知识点八：二分查找（上）

前言

二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法，是一种非常简单的查找算法，很多非计算机专业的同学很容易就能理解，但是看似越简单的东西往往越难掌握好，想要灵活应用就更加困难。

老规矩，我们还是来看一道思考题：假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做呢？

二分思想

二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个 0 到 99 之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。那么如何快速猜中我写的数字呢？

假设我写的数字是 23，你可以按照下面的步骤来试一试（如果猜测范围的数字有偶数个，中间数有两个，就选择较小的那个）。

可以看出，只需要7 次就猜出来了，是不是很快？这个例子用的就是二分思想，按照这个思想，即便我让你猜的是 0 到 999 的数字，最多也只要 10 次就能猜中。不信的话，你可以试一试。

回到实际的开发场景中。假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null。

最简单的办法当然是从第一个订单开始，一个一个遍历这 1000 个订单，直到找到金额等于 19 元的订单为止。但这样查找会比较慢，最坏情况下，可能要遍历完这 1000 条记录才能找到。那用二分查找能不能更快速地解决呢？

为了方便讲解，我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。
还是利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。

其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。

总结一下，二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

O(logn) 惊人的查找速度

二分查找是一种非常高效的查找算法，高效到什么程度呢？我们来分析一下它的时间复杂度。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，算法才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2^k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2^k=1，我们可以求得 k=log2n，所以二分查找算法的时间复杂度就是 O(logn)。

这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

前面讲过，用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有时候可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

二分查找的递归与非递归实现

实际上，简单的二分查找并不难写，注意这里的“简单”二字。最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }

  return -1;
}

稍微解释一下，low、high、mid 都是指数组下标，其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围，初始 low=0， high=n-1。mid 表示 [low, high] 的中间位置。我们通过对比 a[mid] 与 value 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到要查找的值，或者区间缩小为 0，就退出。

现在着重强调一下容易出错的 3 个地方：

1. 循环退出条件
   注意是 low<=high，而不是 low
2. mid 的取值计算
   实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3. low 和 high 的更新
   low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。

实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现，过程也非常简单。

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

二分查找应用场景的局限性

前面我们分析过，二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那么，什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢？

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

二分查找不能依赖其他数据结构如链表等，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

其次，二分查找针对的是有序数据。

这一点的要求还是比较苛刻的，数据必须是有序的。如果数据无序，我们需要先排序。前面章节讲过，排序的时间复杂度最低可以是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果数据集合有频繁的插入和删除操作，要想使用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序；要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

再次，数据量太小不适合二分查找。

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有当数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后，数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

解答开篇：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？

现在，回头来看下开篇的思考题：如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数，内存占用最多不要超过 100MB？

我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

看起来这个问题并不难，很轻松就能解决。实际上，它暗藏了“玄机”。如果你对数据结构和算法有一定了解，知道散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构。你可能会觉得，用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。为什么呢？

不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

小结

一、什么是二分查找？
二分查找的核心思想理解起来非常简单，有点类似分治思想。即每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

二、时间复杂度分析？
1.时间复杂度
假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^k)，…，这是一个等比数列。当n/(2^k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)，是一种高效的查找算法。
2.认识O(logn)
①这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。
②因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
③由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

三、如何实现二分查找？
1.循环实现
注意事项：
①循环退出条件是：low<=high，而不是low ②mid的取值，使用mid=low + (high - low) / 2，而不用mid=(low + high)/2，因为如果low和high比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即low + ((high - low) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
③low和high的更新：low = mid - 1，high = mid + 1，若直接写成low = mid，high=mid，就可能会发生死循环。
2.递归实现

四、使用条件（应用场景的局限性）
1.二分查找底层依赖的是顺序表结构，即数组。
2.二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3.数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作，使用二分查找。
4.数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
5.对于较小规模的数据查找，我们直接使用顺序遍历就可以了，二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作。

思考题

1. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后 6 位。
2. 如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？如果你自己推导一下，你就会深刻地认识到，为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。

参考

《数据结构与算法之美》
王争
前Google工程师