cholesky分解的实现

Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。

它要求矩阵的所有特征值必须大于零,故分解的下三角的对角元也是大于零的。

Cholesky分解法又称平方根法,是当A为实对称正定矩阵时,LU三角分解法的变形。

通过直接比较A=L*L^T两边的对应元素来计算L,其中L^T为L的转置。

思路如下:

L为一实下三角矩阵,求L的步骤如下:
1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)
2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk)  其中k ~ (0, min(m,n)),Umn包含Lmn*Lnn
3、当m < n时,由于是下三角矩阵,所以Umn为0,仅求m >= n的情况
4、如果 m == n 时 Lmn = sqrt(Umn),否则,Lmn = Umn / Lnn
5、即求出Lmn的值


根据此思路的代码实现如下:

public class MyCholeskyDecomposition {

	/**
	 *  2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
	 *  0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000
	 *  0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};
		double[][] L = new double[3][3];
		for(int m = 0; m < A.length; m++){
			for(int n = 0; n <= m; n++){
				L[m][n] = A[m][n];
				for(int k = 0; k < n; k++){
					L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];
				}
				if(m == n){
					L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);
				}else{
					L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];
				}
			}
			for(int x = m + 1; x < A.length; x++){
				L[m][x] = 0.0;
			}
		}
		for(int i = 0; i < L.length; i++){
			for(int j = 0; j < L.length; j++){
				System.out.print(L[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
	}

}

参考:http://baike.baidu.com/link?url=umukeIkxLkBXVuB_UrcP5gIU2_rvzl2L4iXvTZuZQ9sQYswqMKPnOVcd8xJdIZbYSLpAbqDUIG29TymitgizHK

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