求极限简单总结 (基础)

求极限简单总结 (基础)

一.函数
函数的基本类型：
幂函数 y = xa x a
指数函数 y = ax a x
对数函数 y = logax l o g a x ，y=lnx
三角函数 y = sinx, y = cosx, y = tanx , y =contx

二.函数连续性：
函数在某一点连续的充要条件是左，右极限存在且相等，并等于该点的函数值。
即，一个函数在一点处连续必须满足三个条件：有定义，有极限，定义值与极限值相等

三.常用的等价无穷小
当 φ(x)→0 φ ( x ) → 0 时，有
1.幂函数 [1+φ(x)]α−1∼αφ(x) [ 1 + φ ( x ) ] α − 1 ∼ α φ ( x )
2.指数函数 eφ(x)−1∼φ(x) e φ ( x ) − 1 ∼ φ ( x )
3.对数函数 ln(1+φ(x))∼φ(x) l n ( 1 + φ ( x ) ) ∼ φ ( x )
4.三角函数
sinφ(x)∼φ(x) s i n φ ( x ) ∼ φ ( x )
arcsinφ(x)∼φ(x) a r c s i n φ ( x ) ∼ φ ( x )
tanφ(x)∼φ(x) t a n φ ( x ) ∼ φ ( x )
arctanφ(x)∼φ(x) a r c t a n φ ( x ) ∼ φ ( x )
1−cosφ(x)∼12φ(x)2 1 − c o s φ ( x ) ∼ 1 2 φ ( x ) 2

当 x→0 x → 0 时，有
1.幂函数 [1+x]a−1∼ax [ 1 + x ] a − 1 ∼ a x
2.指数函数 ex−1∼x e x − 1 ∼ x
ax−1∼xlna a x − 1 ∼ x l n a
3.对数函数 ln(1+x)∼x l n ( 1 + x ) ∼ x
4.三角函数
sinx∼x s i n x ∼ x
arcsinx∼x a r c s i n x ∼ x
tanx∼x t a n x ∼ x
arctanx∼x a r c t a n x ∼ x
1−cosx∼12x2 1 − c o s x ∼ 1 2 x 2
x−sinx∼16x3 x − s i n x ∼ 1 6 x 3

四.两个重要极限
limx→0sinxx=1 lim x → 0 s i n x x = 1
limx→∞(1+1x)x=e lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e

五.求极限的方法
求极限是高等数学的主要计算问题之一，是各类考试的常考题型。求极限涉及题目量大，方法众多，常用方法有：

1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则（见例4）
2.利用极限存在准则
3.利用两个重要极限（见例5，例6）
4.利用无穷小量的性质和等价无穷小量代换（见例3，例4）
5.利用连续函数的性质的初等函数的连续性
6.利用导数的定义( Δy/Δx Δ y / Δ x ，增量之比求极限）
7.利用洛必达法则 (分子分母求导的极限)
8.利用泰勒公式（见例3）
9.利用定积分的定义(面积求和的极限)
10.利用级数收敛的必要条件和函数的性质求极限
（收敛必存在极限，并且极限唯一）

对于一些复杂的求极限问题，有时需要综合运用多种方法，结合一些代数或三角变换才能求出。

6.导数的定义
在x0附近，y增量除以x增量的极限。
limΔx→0ΔyΔx lim Δ x → 0 Δ y Δ x
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7.利用洛必达法则
f(x),F(x)在 U(a,δ) U ( a , δ ) 上连续，可导，有限
00 0 0 型 : limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=k lim x → a f ( x ) F ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) = k
∞∞ ∞ ∞ 型 : limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=k lim x → a f ( x ) F ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) = k
0∗∞ 0 ∗ ∞ 型，把其中一个因子取倒数放在分母上，化为 00 0 0 型 或者 ∞∞ ∞ ∞ 型
∞−∞ ∞ − ∞ 型，通分或者分子有理化，化为 00 0 0 型
1∞ 1 ∞ , 00 0 0 , ∞0 ∞ 0 ，两边取对数化为 0∗∞ 0 ∗ ∞ 型，再化为 00 0 0 型 或者 ∞∞ ∞ ∞ 型
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9.定积分的定义
用 “ ε∼δ ε ∼ δ ” 语言来描述：
设有常数I，如果对于任意给定的正数 ε ε ，总存在一个正数 δ δ ，使得对于区间[a,b]的任意分法，把 S=∑ni=1f(εi)Δxi S = ∑ i = 1 n f ( ε i ) Δ x i 记作 λ λ 无论 εi ε i 在 [xi−1,xi] [ x i − 1 , x i ] 中怎样取法，只要 λ<δ λ < δ ，总有 |∑ni=1f(εi)Δxi−I|<ε | ∑ i = 1 n f ( ε i ) Δ x i − I | < ε 成立，则称 I 是f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作 ∫baf(x)dx ∫ a b f ( x ) d x

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8.利用泰勒公式
泰勒公式
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x )
取 x0 x 0 =0，就是麦克劳林公式
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常用函数的麦克劳林公式
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+eθxxn+1(n+1)! e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! + e θ x x n + 1 ( n + 1 ) ! , (0<θ<1) ( 0 < θ < 1 )
sinx=x−x33!+x55!+...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+o(θ) s i n x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + . . . + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o ( θ )
cosx=1−x22!+x44!+...+(−1)nx2n(2n)!+o(θ) c o s x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + . . . + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o ( θ )
ln(1+x)=x−x22+x33−x44+...+(−1)nxnn+o(θ) l n ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + . . . + ( − 1 ) n x n n + o ( θ )
(1+x)a=1+ax+a∗(a−1)2!x2+a∗(a−1)∗(a−2)3!x3+...+a∗(a−1)...(a−n+1)n!xn+o(θ) ( 1 + x ) a = 1 + a x + a ∗ ( a − 1 ) 2 ! x 2 + a ∗ ( a − 1 ) ∗ ( a − 2 ) 3 ! x 3 + . . . + a ∗ ( a − 1 ) . . . ( a − n + 1 ) n ! x n + o ( θ )