[滑模控制器浅述] （4） Terminal滑模简述及其与普通滑模收敛速度比较

[滑模控制器浅述] （4） Terminal滑模简述及其与普通滑模收敛速度比较

本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
您需要对滑模控制有一个初步的了解，可以参考：
[滑模控制器浅述] （1） 二阶系统的简单滑模控制器设计

1 前言

Terminal滑模（终端滑模）相比于普通滑模的优势就是其“有限时间收敛”（收敛时间有限）的特性，相比于普通滑模的“渐进收敛”（收敛时间为无穷）是一种更强的收敛特性。
本文将从数学和理论的角度比较Terminal滑模的“有限时间收敛”的与普通滑模的“渐进收敛”。

2 Terminal滑模

对于二阶系统，选取Terminal滑模面为：
$$s=\dot{e}+\beta e^{q/p}=0$$其中$e$为跟踪误差，参数$\beta >0$，为奇数$p$、$q$，且$p>q$。
好了结束了，Terminal滑模就介绍完了，正片简述一下Terminal滑模优点，也就是下面的收敛速度比较。

3 Terminal滑模收敛性能

一般的，对于二阶系统，选取Terminal滑模面为：
$$s=\dot{e}+\beta e^{q/p}=0$$其中$e$为跟踪误差，参数$\beta >0$，为奇数$p$、$q$，且$p>q$。
解上微分方程：
$$\begin{array}{rl}& \dot{e}+\beta e^{q/p}=0\\ & e^{-q/p}\frac{de}{dt}=-\beta \end{array}$$令$y=e^{-q/p}$，则，$\frac{dy}{dt}=\frac{p-q}{p}{e}^{-q/p}\frac{de}{dt}$，带入上式：
$$\frac{dy}{dt}=-\frac{p-q}{p}\beta$$积分：
$$y={\int }_0^t\left(-\frac{p-q}{p}\beta \right)d\tau +C$$当$t=0$时，有$C=y\left(0\right)$，因此：
$$y={-\frac{p-q}{p}\beta t|}_0^t+y\left(0\right)$$当状态误差消失，即$e=0$时，$y=0$，设此时$t=t_s$：
$$\begin{array}{rl}& 0=-\frac{p-q}{p}\beta t_s+y\left(0\right)\\ & t_s=\frac{p}{\beta \left(p-q\right)}y\left(0\right)\\ & t_s=\frac{p}{\beta \left(p-q\right)}{\left|e\left(0\right)\right|}^{\frac{p-q}{p}}\end{array}$$即此时有$e=0$，可以看出，收敛时间是有限的，即“有限时间收敛”。

4 普通滑模收敛性能

下面考虑普通滑模，其滑模面：
$$s=\dot{e}+ce=0$$参数$c>0$。
解上微分方程：
$$\begin{array}{rl}& \dot{e}+ce=0\\ & \frac{1}{e}\frac{de}{dt}=-c\end{array}$$令$y=\ln \left(e\right)$，则，$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{e}\frac{de}{dt}$，带入上式：
$$\frac{dy}{dt}=-c$$积分：
$$y={\int }_0^t\left(-c\right)d\tau +C$$当$t=0$时，有$C=y\left(0\right)$，因此：
$$y={-ct|}_0^t+y\left(0\right)$$当状态误差消失，即$e=0$时，$y=-\infty$，设此时$t=t_s$：
$$\begin{array}{rl}& -\infty =-c{t}_s+y\left(0\right)\\ & t_s=\frac{\infty +y\left(0\right)}{c}\\ & t_s=\infty \end{array}$$即此时有$e=0$，可以看出，收敛时间是“无穷”的，这就是常说的“渐进收敛”。

5 一些补充

原本本文将在此结束，然而笔者恰好发现了另一篇关于终端滑模的博客，因此有如下补充。
上面叙述的都是对于滑模面的设计，除此之外还可以对趋近律设计。将滑模面设计为终端滑模形式可以保证抵达滑模面后，状态量有限时间收敛； 将趋近律设计为终端滑模形式可以保证滑模面的有限时间内抵达。他们的证明过程和上面所给的相似，这里就不赘述，或者可以参看下面博客，其主要是针对趋近律的设计：
非奇异终端滑模

6 参考文献

本文关于Terminal滑模部分参考了如下文献：
姜长生，现代非线性鲁棒控制基础[M]，哈尔滨工业大学出版社，2012