Delta并联机构运动学分析

    运动学分析(Kinematic Analysis)包括正向运动学分析(Forward Kinematic Analysis)和逆向运动学分析(Inverse Kinematic Analysis)。正向运动分析即在已知机构各关节角度以及杆件长度的情况下下，求解末端的位置与姿态；而逆向运动学分析正好相反，在已经末端位姿与杆件长度的情况下，求解各关节的角度。机械系统中的机构可以分析串联机构与并联机构，串联机构的正向运动学求解容易，而逆向运动学求解比较困难；而并联机构，则逆向运动不求解比较容易，而是正向运动学求解比较困难。

    常用的运动学求解方法有D-H法、几何法等。Delta机构是典型的并联机构，其由固定平台、浮动平台以及连接固定平台与浮动平台的三条完全一致的支链构成，三条支链在固定平台与浮动平台之间呈120度均匀分布。每一条支链由主动杆与被动杆组成。对于Delta机构而言，其最终只有在个平动自由度，即浮动平台的三个自由度。而主动杆只做转动，浮动平台只做平做，被动杆既有旋转，也有平动。

    由于Delta机构属于典型的并联机构，因此，Delta机构具有并联机构的特征，即正向运动学求解困难，而逆向运动学求解较为容易。在正向驱动中，即机器人轨迹规划等操作中，需要的是机构的逆向运动学。而在反向驱动中，即力反馈操作中，需要的是机构的正向运动学。

    根据几何法，建立Delta机构的模型与坐标系，在固定平台的中心点建立固定坐标系OXYZ，在浮动平台的中心建立浮动坐标系O'X'Y'Z'。主动杆与固定平台的交点为A，被动杆与浮动平台的交点为B,主动杆与被动杆的交点为C。主动杆的升序为Lb,被动杆的长度为La,在固定坐标系，把A，B，C的坐标分别表示出来。接着，可以求出向量BC的坐标，根据向量BC的模型即为被动杆的长度La,则可建立等式方程。三条支链可以建立三个等式方程，构成一个三元二次方程组，其中自变量为三角主动关节的转角，因变量为浮动平台中心点在固定坐标系中的坐标值(x,y,z)。三元二次方程组的求解较为困难，如果把x,y,z当作已知数，而主动关节的转角当作未知数，则方程为三元一次非线性方程组。可以结果三角函数的知识，把方程组化简成一元二次方程，从而求解，即运动学逆解。而对于三元二次方程组的正向求解，解析法求解较为困难，可通过数值解的方式来求解。即利用牛顿迭代法，构建牛顿迭代方程，在有效次的迭代次数内，当前后两次的迭代结果差小于一个很小的阈值时，可以认为得到了正确的解。

    而在Matlab中求解三元二次方程组时，则更为方便，可以把方程组构建符号方程组，然后通过slove函数求解出符号解，接着把符号解转换成double型的数值解，即可得到方程组的解。但此时求出的解有多解的存在，即存在两组解。可以设置一些条件过滤掉非正常的解，如Z坐标总是大于零，即可把另外一组解去除，从而得到正确的解，即为运动学的正解。