基于重力补偿的 PD 控制

PD 控制是常规的控制方法，设计简单，用李雅普诺夫方法证明简单，不需要系统的模型，是无模型控制中的基本方法。

令 [q~Tq˙T] 为系统的状态向量，
其中： q~=qd−q

表示期望位姿和实际位姿之间的误差。选择一下正定二次型作为李雅普诺夫函数：

V(q˙,q~)=12q˙TB(q)q˙+12q~TKpq~>0,∀q˙,q~≠0

其中， Kp 为 n∗n 的正定矩阵。（第一项表示系统的动能，第二项表示系统的势能）

对时间求导：

V˙=q¨TB(q)q¨+12q˙TB˙(q)q˙−q˙tKpq~

根据动力学公式：

B(q)q¨+C(q,q˙)q˙+Fq˙+g(q)=τ

得：

V˙=q˙T(B˙(q)−2C(q,q˙)q˙)q˙−q˙TFq˙−q˙t(τ−g(q)−Kpq~)=−q˙TFq˙−q˙t(τ−g(q)−Kpq~)

第一项负定， τ=g(q)+Kpq~−Kdq˙ 时，

V˙=−q˙T(F+Kd)q˙

只要 F+Kd 正定，即可得：

V˙<0,∀q≠0

根据李雅普诺夫方法，可得系统是稳定的。

基于重力补偿的 PD 控制的控制框图如下：