张量网络(1)

张量积定义

• $M_{dd},N_{dd}$

• $d^2\times d^2$
  $$M\otimes N=\left(\begin{array}{cccc}{m}_{11}N& m_{12}N& \cdots & m_{1d}N\\ m_{21}N& m_{22}N& \cdots & m_{2d}N\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_{d1}N& m_{d2}N& \cdots & m_{dd}N\end{array}\right)$$

• $M$行标记$x_1$和$N$行标$x_2$联合为$M\otimes N$行标。
  $$(M\otimes N{)}_{x_1{x}_2,x_3{x}_4}=M_{x_1,x_3}{N}_{x_2,x_4}$$

  • 下图是一张量积
  • （ ）
  • $x_1就是个标记$

  -

  • 下图也是一个张量积
  • （ ）
  • $x_1就是个标记$

广义矩阵形式

• $F$是$n+m$元布尔函数，$x_1,...,x_n,y_1,...,y_m$是输入
  对应$2^n\times 2^m矩阵M=(M_{x_1,...,x_n,y_1,...,y_m})$
  $M_{x_1,...,x_n,y_1,...,y_m}=F(x_1,...,x_n,y_1,...,y_m)$
  $m=0\to 列。n=0\to 行。$

• 下面的图，显然等于$F\cdot H$

  • 就是$(F_{x_1{x}_2,y_1{y}_2})(H_{y_1{y}_2,z_1{z}_2{z}_3})$
    

• 行标画左，列标画右

向量张量积与矩阵乘法

• 下面这俩个做矩阵乘法
• $(M{N}^{\prime }{)}_{x_1,x_2}=M_{x_1}{N}_{x_2}$
  
• 下面这俩个做张量积
• $(M\otimes N{)}_{x_1,x_2}=M_{x_1}{N}_{x_2}$
  

张量积与矩阵乘法

• 下图可写成
• （ ）
• （ ）

结合律的证明

• 显然定义了$F=ABC$

• 按定义
  $F(x_1,x_2)={\sum }_{e_1,e_2}A(x_1,e_1)B(e_1,e_2)C(e_2,x_2)$
  
• $={\sum }_{e_2}C(e_2,x_2){\sum }_{e_1}A(x_1,e_1)B(e_1,e_2)$
• $={\sum }_{e_1}A(x_1,e_1){\sum }_{e_2}B(e_1,e_2)C(e_2,x_2)$
  $$\sum _{e\in E_1\cup E_2}\prod _{v\in V_1\cup V_2}{F}_v$$
  $$\sum _{e\in E_2}(\prod _{v\in V_2}{F}_v\sum _{e\in E_1}\prod _{v\in V_1}{F}_v)$$

矩乘和张量积联合用

• （ ）

• （ ）

零元函数张量积

$(M\otimes N)=MN$
无外部边的张量网络的值=（ ）

布尔变量对称函数F

• F值取决于有多少个1？
• $F=[f_0,f_1,...,f_n]$

#CSP与张量网络

• 布尔变量时$"=k"=[1,0,...,0,1]$
• 对一个$\#CSP$问题改造下，得到如下啥呢？
  
• $F_i相当于是约束函数哦！$
• 问题答案是张量网络的值。
• 不连通的话就是每个连通分支的乘积，思考为啥乘呢？