FWT 题表

今天学习了一下FWT
你怎么高二了还不会啊
不会这个东西的人已经在这个时代没有人权了23333
教程本来想写的，写到一半就咕咕咕了
反正网上的资料都够多了吧
那么就和FFT一样，整理出一个题表把

用这个异或FWT有一个很重要的思想
就是a^b=c ，那么 a^c=b
这个在构造FWT的时候常常会用到

不说了，看题吧

bzoj 4589: Hard Nim

入门题
考虑到，必胜的情况是所有石子异或起来为0
因此，我们想要知道的就是最后异或为0有多少种方案
每一轮就相当于一次FWT
多堆就是套一个快速幂

bzoj 4036: [HAOI2015]按位或

考虑min-max容斥
我们枚举一个集合，他最早出现的概率就是$1-P(其他位的概率)$
至于这个$P(其他位的概率)$，显然就是一个或卷积的问题了
FWT即可

CF662C Binary Table

挺好的题
考虑n很小
我们不妨爆搜每一个这$n$行翻转的情况，设为$x$
然后对于m列，我们都看做一个数，$2^n$的数
设$f_i$表示$i$这个数，翻转还是不翻转时候的最优代价
也就是$f_i=min(bi{n}_i,n-bi{n}_i)$
那么答案显然就是$\sum f[a_{i}xorx]$
这样就是$2^{n}m$了
似乎没什么好优化的
记得上面说的套路吗？
我们尝试通过预处理，算出每一个$x$的答案
可以发现，我们把$f$和原来的字符异或卷积起来就可以了

hdu 5909 Tree Cutting

可以直接DP
$f_{i,j}$表示$i$这个子树，异或起来为$j$的方案
显然可以用FWT来优化

当然，也可以用点分+树形依赖背包来做

CF453D Little Pony and Elements of Harmony

$令c[i]=b[bin[i]]$
$f[i]=\sum c[i\oplus j]\ast f[j]$
那么同样的，把$c$和$j$卷起来就可以了
可以发现到，每一次卷的$c$都是一样的
可以用快速幂预处理出来
em…要注意的是，这个模数比较特殊
要先乘$n$，因为不一定有逆元
那么就要快速乘了。。可以用黑科技$O(1)$快速乘

loj #2340. 「WC2018」州区划分

听说叫子集卷积？
感觉很妙啊！！
不难想到$3^n$的DP
然而过不去
如果用卷积优化的话，会出现一个点卷若干次的情况
解决方法是，对于每一个状态多记录一维，表示有多少个点，这样就不会出现一个点算多次的情况了
那么$f[n][1<<n-1]$一定是只有n个点的，也就是一定是合法的
然后就可以了
复杂度是$2^n\ast n^2$的

大概就先写着这么多吧。。
相信大家做完这个题表也可以对FWT有一个初步的认识了
那么，就以后见到什么经典的再写吧