数论问题77一一3x+1问题

3X + 1问题,也被称为考拉兹猜想、角谷猜想等,是数学领域一个著名的未解决问题,以下是关于它的介绍:

 

问题表述

 

对于任意一个正整数X,如果X是奇数,则将其变为3X + 1;如果X是偶数,则将其变为X/2。不断重复这个过程,最终是否无论初始值X是多少,都会经过有限次变换后最终得到1。

 

例如,取X = 5,它是奇数,进行3X + 1操作得到3×5 + 1=16;16是偶数,进行X/2操作得到16÷2 = 8,接着8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。

 

数学形式化表示

 

f(x)=x/2时,若 x为偶数;f(x)=3x + 1, 若 x为奇数。

然后对f(x)的结果不断重复应用f,看是否最终会得到1。

 研究进展

 大量数值验证:数学家们使用计算机对大量的正整数进行了验证,截至目前,已经验证到非常大的数字,都没有发现反例。

  特殊情况研究:对一些特殊形式的数,如2^n型的数,很容易证明其最终会落入“1-4-2-1”循环。但对于一般的正整数,尚未找到通用的证明方法。

 尽管许多数学家进行了大量研究,但目前3X + 1问题仍然没有被完全证明或证伪,它依然是数学领域中一个极具挑战性的问题。

 

这是一个真正的会下金蛋的母鸡,肉很肥,而人们对它却无可奈何!对它入手验证极其容易,却完成对它规律的论证却极为困难!它会耗费研究者一生的时间,除其他收获外对它一无所获。我最后把它归结为数的整除问题。具体介绍如下。

①把3X+1问题推广到更一般的情况。

命题1,设一个正整数X,素数q(q≥3),若x能被小于q的素数所整除就整除它;若X不含有小于q的因子数,就用q乘它后再加1,变为qX+1。这样反变运算(称为qx+1变换),猜想最后结果为1。

当q=3时,命题1为3x+1猜想。

②命题2,若在3x+1变换下,任何一个正整数x总能化为小于它的一个整数,那么,3x+1猜想成立。

3x+1问题等价于

③命题3,设Rn=[nlog3 ^2]+1,Pn=3^(n-1)+3^(n-2)2^(r1)+…+3x2^(rt)+2^(t+1)。

其中,t=n-2,i≤ri<[ilog3^2]+1,符号[a]表取小数a的整数部分。log3^2是以3为底2的对数。那么,

(2^Rn-3^n)不整除Pn。

当(2^Rn-3^n)整除Pn时,3x+1猜想不成立。(李扩继)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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