有限体积法、有限差分法和有限元法介绍
学过弹性力学的人应该都知道什么是有限元，而对学计算流体力学的来说，有限差分和有限体积法也是两种非常重要的方法。三者虽然目前形式各异，但是思想上有很多类似的地方。CFD（Computational Fluid Dynamics）中主要的三种离散方法就是他们三个。
而这篇文章主要目的是对三者进行比较，并给出三种方法计算同一个流体一维算例的过程。
一维算例：
流体在沿着一条流线传输过程中，关于流体的某个物理量
的输运方程为：
这个方程也可以看成对流-扩散方程的特例，其含义就是在控制体内部：
由源产生的
的量（因为全场没有源项，故等号右端为0） =
由于流动导致的物理量的增加（
）+由于扩散导致物理量
的减少（
）
另外流场还应该满足连续条件：
即：流入质量=流出质量
那么控制方程组就是：
下面，用三种方法分别来解这个流场的物理量
值
1 有限差分法
主要参考《计算流体力学入门》，John D.Andersion，JR .
有限差分法的做法很简单：流体的控制方程组一般都是偏微分方程，解偏微分方程组很困难， N-S方程多数都是没有解析解的，但是解线性方程组是很简单的事情。所以，差分主要目的便是将微分近似为线性运算，进而把偏微分方程组转化为线性方程组。大多数用来代替偏微分形式是基于Taylor展开得到的，利用Taylor展开，对x一阶导数差分可以近似如下三种形式：
对扩散项的二阶导数，近似为：
将控制方程离散成差分方程，得到：
这里我们把
项转化为一个一阶导数和二阶导数
，然后分别一阶和二阶格式进行差分。
通过联立连续方程，可以求解出全场所有节点处流速值
，代入对流扩散方程中，简化为：
然后联立求解全场各个点有关
的方程组，便可解得
全场节点处数值。
2 有限体积法
主要参考《计算流体动力学分析：CFD软件原理与应用》，王福军
（其实里面也就是流体力学控制方程简介+有限体积法，整个这个名字真让人迷惑QAQ）
1.1离散
有限体积法离散的核心和有限元法一样，使用有限个离散点来代替原来整个连续的空间。把计算区域分成不重叠的计算网格，然后确定每个节点位置和节点控制体体积（也就是节点所在的网格单元）。区域几何要素主要有以下几个：
节点：需要解未知物理量的几何位置，一般在节点上定义所有的标量，下面图中的W、P、E三个点就是节点；
控制体积：应用控制方程和守恒定律的最小单位，图中灰色区域；
界面：规定了与各节点相对应的控制体积的分界面位置，图中w和e处；
网格线：连接节点的曲线簇，图中就是x轴线。
1.2建立离散方程
有限体积最特殊的一步就是在控制体上积分控制方程，以便在控制体积的界面上产生离散方程。对一维算例在控制体积
上积分有：
然后控制体积分式等价于：
其中
可以看成是垂直于
轴方向上断面的面积。
这里我想详细的讨论一下，在书中作者说这是完全等价的转化，并没有取任何近似，但是我有不同的看法
积分式里面的被积函数
和A没有任何关系，所以我们可以先把
做积分：
然后根据分部积分方法：
我们可以看出，等号左端正确结果应为：
所以这一步其实也做了近似。否则应该加上
的前提。
1.3解方程
我们已经把非线性的控制方程组通过离散，转化成为了线性方程组。
但是在我们的解里
只定义在了节点上，在界面处应该并没有
的值，所以还需要某种差分方法，把
在界面处的值用节点上的值来近似，这里就是所谓的使用差分格式。
采用最煎蛋XD的方法……我们用界面两边的节点值取平均来近似，这应该是地球人都想得到的方法，方程继续化简为：
记为：
根据连续方程，我们可以求解整个流场，那么系数
和
即为已知数，然后便可求解
。
和
分别代表了相邻点
和
处的物理量通过对流扩散作用对
点影响的大小，我们假设流场是已知的，那么我们已经知道全场每个点的
和
大小。这样把全场的节点离散方程联立求解，便可解得每个节点的
值。