2019西安EC-final H-king （随机化+dp）

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题面

给出一个长度为n的序列，和一个小于1e9+7的质数。如果最长的模意义下的等比数列长度小于n/2则输出-1，否则则输出长度。

随机化算法

因为小于n/2的时候不用求出长度，而当长度大于n/2时，我们可以通过相邻两个数或者隔着一个数来计算q（通过逆元），再通过q出现的频率去判断是否可能为q，所以可以采取随机化算法。

正确性

相邻时的最坏情况是隔着取的（比如 1 3 2 5 4 7 8）此时取不到正确的q，但此时是隔着一个数的最好情况（会取到3次q）。
隔着一个取的最坏情况是相邻着的（比如 1 2 4 8 16）此时取不到正确的q，但此时是相邻取的最好情况（会取到4次q）。
而综合起来的最坏情况就是隔着两个出现下一个（比如 1 3 5 2 7 11 4 8），此时为最坏情况q只出现1次，n为8，所以可以以8/n作为分界线。

复杂度

因为两次取得的q约有2*n个因为以n/8为分界线，所以最多有16个q，遍历check为O（N），则总复杂度约为O（N）带一个不大的常数。所以可行。

check

当得到q后遍历并用unordered_map来dp求得长度。

AC代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 5;
int T;
int n;
ll p;
ll a[maxn];
vector<ll> q;
ll ksm(ll a, ll n)
{
    a %= p;
    ll res = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
void getq()
{
    q.clear();
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        q.push_back(a[i + 1] * ksm(a[i], p - 2) % p);
    }
    for (int i = 0; i < n - 2; i++)
    {
        q.push_back(a[i + 2] * ksm(a[i], p - 2) % p);
    }
    unordered_map<ll, int> mp;
    for (int i = 0; i < q.size(); i++)
    {
        mp[q[i]]++;
    }
    q.clear();
    for (auto it : mp)
    {
        if (it.second >= n / 8)
            q.push_back(it.first);
    }
    return;
}

int check(ll q)
{
    unordered_map<ll, int> dp;
    int ret = 0;
    if (q == 1)
    {
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            dp[a[i]]++;
            ret = max(dp[a[i]], ret);
        }
        return ret;
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        dp[a[i]] = 1;
        dp[a[i]] = max(dp[a[i] * q % p] + 1, dp[a[i]]);
        ret = max(ret, dp[a[i]]);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    srand(time(0));
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {

        scanf("%d %lld", &n, &p);
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%lld", &a[i]);
        }

        getq();

        int ans = 0;
        for (auto it : q)
        {
            ans = max(ans, check(it));
        }
        if (ans * 2 < n)
            cout << -1 << endl;
        else
            cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

总结

场上没有想出这道题，也没有想到随机化算法。还需要努力。