数论-扩展欧几里得

简介

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$。

流程

为求解$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$ ①，
根据普通欧几里得算法，$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$ ，
假设我们已经求出了一组数$x_2,y_2$,满足$b\ast x_2+(a\%b)\ast y_2=gcd(b,a\%b)$ ②,
结合以上三个式子，则有$b\ast x_2+(a\%b)\ast y_2=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)=a\ast x+b\ast y$，
可推知$x_1=y_2$， $y_1=x_2-\frac{a}{b}\ast y_2$。
问题转化成了求解$x_2$，$y_2$。
可以发现，式③的形式与式①完全相同，可以用求解式①的方式求解。
不断重复以上过程，直到$y_k$的系数为0时，得到式k的一组可行解$x_k$，$y_k$,
不断将求得的解带回上一层，最终求得式①的一组可行解x，y。

#include 
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y,y=t-(a/b)*y;
    return gcd;
}
int main()
{
	int x,y,a,b;
	cout<<"求解：ax+by=gcd(a,b)\na=";
	cin>>a;
	cout<<"b=";
	cin>>b;
	cout<<"gcd(a,b)="<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
	cout<<"解得：x="<<x<<",y="<<y;
	return 0;
}