辗转相除法复杂度分析

斐波那契数列

  

注：此时  

指数增长

　　F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

欧几里得算法复杂度：

我们不妨设A>B>=1(若a

构造数列{U_n}:

　　U₀=a, U₁=b, U_k=U_k-2 mod U_k-1 (k>=2)

若算法需要n次模运算, 则有

　　U_n=gcd(a, b), U_n+1=0

我们比较数列{U_n}和菲波那契数列{F_n}

　　F₀=0,F₁=1<=U_n ,F₂=1<=U_n-1

又因为由　　

　　U_k mod U_k+1=U_k+2

可得　　 　

　　U_k>=U_k+1+U_k+2     (U_k=r·U_k+1+U_k+2,r>=1) 

由数学归纳法得到 : 　　

　　U_k>=F_n-k+1

于是得到:

　　A=U₀>=F_n+1

　　B=U₁>=F_n

也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则B必定不小于F_n.

换句话说, 若 Bn, 则算法所需模运算的次数必定小于n.

根据菲波那契数列的性质, 有

　　F_n>1.618ⁿ/√5 

即

　　b>1.618ⁿ/√5

所以模运算的次数为 O( lg B ).

 

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