bzoj2987 Earthquake 类欧几里得

Description

---

给定a,b,c,求满足方程Ax+By<=C的非负整数解

A,B<=10^9.C<=Min(A,B)*10^9

Solution

---

考虑枚举x得到 y≤⌊C−AxB⌋ y ≤ ⌊ C − A x B ⌋
类欧几里得的经典应用，时间太紧了我就先去吃个饭回来再写
回来辣
类欧的几何意义可以看成是求一个梯形内的整点数，不包括纵坐标为0的点，包括边界上的点
先设 f(n,a,b,c)=∑ni=0⌊ai+bc⌋ f ( n , a , b , c ) = ∑ i = 0 n ⌊ a i + b c ⌋
若 a≥c a ≥ c 或 b≥c b ≥ c ，那么有
f(n,a,b,c)=(n+1)n2⌊ac⌋+(n+1)⌊bc⌋+f(n,a%c,b%c,c) f ( n , a , b , c ) = ( n + 1 ) n 2 ⌊ a c ⌋ + ( n + 1 ) ⌊ b c ⌋ + f ( n , a % c , b % c , c )
至于怎么推的可以考虑把前面两项再塞回Σ里面看看

若两个都不满足，那么令 m=⌊na+bc⌋ m = ⌊ n a + b c ⌋ ，有
f(n,a,b,c)=∑ni=0∑mj=1[j≤⌊ai+bc⌋] f ( n , a , b , c ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 1 m [ j ≤ ⌊ a i + b c ⌋ ] ，这个可以看成是枚举可行的整点
我们把表达式单独拉出来 j≤⌊ai+bc⌋ j ≤ ⌊ a i + b c ⌋
化一下把i单独弄出来得到 i≥⌊cj+c−b−1a⌋ i ≥ ⌊ c j + c − b − 1 a ⌋ ，套进原本的柿子里面，这个就等同于一行一行枚举了
然后有 f(n,a,b,c)=n∗m−f(m−1,c,c−b−1,a) f ( n , a , b , c ) = n ∗ m − f ( m − 1 , c , c − b − 1 , a )

复杂度分析到处都有我就不贴了

Code

---

#include 
#include 
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;

LL solve(LL n,LL a,LL b,LL c) {
    if (!c) return 0;
    if (a>=c||b>=c) {
        return solve(n,a%c,b%c,c)+(a/c)*n*(n+1)/2+(b/c)*(n+1);
    } else {
        LL m=(n*a+b)/c;
        return n*m-solve(m-1,c,c-b-1,a);
    }
}

int main(void) {
    LL a,b,c; scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    printf("%lld\n", solve(c/a,a,c%a,b)+c/a+1);
    return 0;
}