扩展欧几里得算法（一）

扩展欧几里得算法（一）

一、应用:

1. 不定方程：ax+by=c

2. 求逆元
3. 同余方程

二、求解线性不定方程

1.对于ax+by=c

设gcd(a,b)=d;if(c%d!=0) 无解；

设c=c1*d,

求出一组解（x0,y0），则ax0+by0=d

则a(c1x0)+b(c1y0)=c,(c1x0,c1y0)为一组解

因此：核心问题是：求ax+by+c=gcd(a,b)的解

2.ax+by=d=b*x1+(a%b)*y1

             =b*x1+(a-[a/b]*b)*y1

             =b*x1+a*y1-[a/b]*b*y1

             =a*y1+b*(x1-[a/b]*y1)

     则x=y1,y=x1-[a/b]*y1;

     if(b==0&&a==d) x=1,y=0;

3.求ax+by=c的x的最小正整数解

设(x1,y1)(x2,y2)都是原方程的解·

则：ax1+by1=c

    ax2+by2=c;

两式相减：a(x1-x2)+b(y1-y2)=0;令gcd(a,b)=d

则:(a/d)*(x1-x2)+(b/d)*(y1-y2)=d;

此时，gcd(a/d,b/d)=1,则

x1-x2=(b/d)*(y2-y1)/(a/d)=k*(b/d)

因此:x=x0+k*(b/d);

最小正整数解：x=(x0%(b/d)+b/d)%(b/d)

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