欧几里德算法（最大公约数算法）

欧几里德算法

　　欧几里德算法又称为辗转相除法，用于计算两个非负整数的最大公因数。其伪代码如下： 

gcd(a, b) //要求a>=b
    if(b == 0)
        return a
    return gcd(b, a % b)

　　结果的正确性源于a与b的最大公约数c也是a%b的公共约数。原因很简单，a%b=a-kb=ic-kjc=(i-kj)c，故a%b能整除c。设p为b和a%b的最大公约数，由于a=kb+a%b=xkp+yp=(xk+y)p，因此p能被a整除，因此p也是a与b的最大公约数，因此可以保证c>=p>=c，故p=c。

　　再不考虑递归的情况下，gcd的时间复杂度为O(1)，而每次递归调用都会使得两个传入参数a与b中较大者减少一半以上（a%b<=min{a-b,b}），因此递归最多发生O(log2(a)+log2(b))=O(log2(ab))次，总的时间复杂度为O(log2(ab))，空间复杂度主要集中在递归，同样也是O(log2(ab))。

应用

场景1

　　对于自然数a与b，有时候我们需要求解能使得x*(a/b)为整数的最小自然数x。我们可以将式子改写为x*((a/c)/(b/c))，其中c是a与b的最大公约数，由于a/c与b/c没有公约数，即二者互质，因此由算术基本定理知x能整除b/c，即x可以取值b/c,2b/c,...。当我们选取b/c作为x值时，式子的值为x*(a/b)=a/c，为整数，因此b/c即为我们要求的值。　　

 

场景2　　

　　设z是x与y的最大公约数，要求让ax+by=z成立的某组可能的a与b的取值，也可以通过欧几里德算法实现。

　　若x与y中有至少一者为0时，我们只需要取非0元素的系数为1，就可以得到一组解。而当x=y时只需要令a，b中任意一个为1另外一个为0即可得到所求值。之后均认为x>y>0。若我们已知ny+m(x%c)=c成立，则进行如下推导：$$ ny+m\left(x\%y\right)=z $$ $$ \Rightarrow ny+m\left(x-y\cdot\lfloor\frac{x}{y}\rfloor\right)=z $$ $$ \Rightarrow m\cdot x+\left(n-m\cdot\lfloor\frac{x}{y}\rfloor\right)\cdot y=z $$因此我们就得到了一组可行的a与b的值。

　　到此我们可以使用递归的思路求解a与b：

coe(x, y) //认为x>y
    if(y == 0)
        return (1, 0)
    n, m = coe(y, x % y)
    return (m, n - m * floor(x / y))

　　对于已知的一组式子ax+by=z，其中a，x，b，y，z均已知且z是x与y的公约数，希望找到另外一对n，m使得nx+my=c成立且n是所有符合值中最小自然数，即我们希望锐化a的取值。首先我们分别令等式左右两边除以z，此时式子形如np+mq=1，其中p与q互质。而我们的目标是通过修改n和m的值使得等式成立且n为最小自然数，因此我们将n与m的变更值记作u与v（这里认为n尚未达到目标结果，即u与v均非0），则可得up+vq=0。由于p与q互质，因此u能整除q且v能整除p，u的值最小允许取-q和q，表示对n最小幅度的波动。我们可以按照n现有符号对n不断加上q或-q，直到n成为最小的可行自然数。这里可以直接写作n%q。因此我们知道了n%(y/z)是使得式子ax+by=z满足的最小自然数。

　　要求ax+by=cz满足的一组a与b的取值，且c是给定整数，可以先使用上面的方法取一对可行解n，m使得nx+my=z成立，之后两端均乘上c得到cnx+cmy=cz，就得到一组可行系数。

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