Codeforces 917D Stranger Trees

题意

给出一棵n个节点的带标号树，要求对于每个k，求出有多少棵生成树满足恰好有k条边与原树相同。
n<=100

分析

(Kn：n个点的完全图，ans[i]:与 T 有 i 条相同的边的生成树的个数)

定义 F(X) 为 Kn + (X - 1) * T 的生成树个数。
我们观察 F(X)，实际上它的值也等于 sigma X^i * ans[i], 因为在 Kn 上生成的并且与 T 有 i 条相同的边的 1 棵生成树在 Kn + (X - 1) * T 中对应 X^i 棵生成树。

此时问题转化为求 F(X) 的系数，我们可以取 X = 1 到 X = n，按照 F(X) 定义求出其值，然后插值求出每一项的系数。

时间复杂度O(N^4)

本题也可用dp做，但是比较繁琐，在此就不讨论了。

代码

#include 

int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return x * f;
}

typedef long long LL;

const int N = 105;
const int MOD = 1000000007;

int n,size[N],cnt,last[N],jc[N],ny[N],f[N][N][N],g[N],tmp[N][N];
struct edge
{
    int to,next;
}e[N * 2];

void addedge(int u,int v)
{
    e[++cnt].to = v; e[cnt].next = last[u]; last[u] = cnt;
    e[++cnt].to = u; e[cnt].next = last[v]; last[v] = cnt;
}

int ksm(int x,int y)
{
    int ans = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1) 
            ans = (LL)ans * x % MOD;
        x = (LL)x * x % MOD;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}

void mod(int &x) 
{
    x -= x >= MOD ? MOD : 0;
}

int C(int n,int m)
{
    return (LL)jc[n] * ny[m] % MOD * ny[n - m] % MOD;
}

void dp(int x,int fa)
{
    size[x] = 1;
    f[x][1][1] = 1;
    for (int i = last[x], to = e[i].to; i; i = e[i].next, to = e[i].to)
    {
        if (to == fa) 
            continue;
        dp(to,x);
        for (int j = 1; j <= size[x]; j++)
            for (int k = 1; k <= size[x]; k++)
            {
                if (!f[x][j][k]) 
                    continue;
                for (int j1 = 1; j1 <= size[to]; j1++)
                    for (int k1 = 1; k1 <= size[to]; k1++)
                    {
                        mod(tmp[j + j1][k] += (LL)f[x][j][k] * f[to][j1][k1] % MOD * k1 % MOD);
                        mod(tmp[j + j1 - 1][k + k1] += (LL)f[x][j][k] * f[to][j1][k1] % MOD);
                    }
            }
        size[x] += size[to];
        for (int j = 1; j <= size[x]; j++)
            for (int k = 1; k <= size[x]; k++)
                f[x][j][k] = tmp[j][k], tmp[j][k] = 0;
    }
}

int main()
{
    n = read();
    jc[0] = ny[0] = jc[1] = ny[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
        jc[i] = (LL)jc[i - 1] * i % MOD, ny[i] = (LL)(MOD - MOD / i) * ny[MOD % i] % MOD;
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
        ny[i] = (LL)ny[i - 1] * ny[i] % MOD;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int x = read(),y = read();
        addedge(x,y);
    }
    dp(1,0);
    g[n - 1] = 1;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            mod(g[i] += (LL)f[1][n - i][j] * j % MOD);
        if (n - i - 2 >= 0) 
            g[i] = (LL)g[i] * ksm(n,n - i - 2) % MOD;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            if ((j - i) & 1) 
                mod(g[i] += MOD - (LL)g[j] * C(j,i) % MOD);
            else mod(g[i] += (LL)g[j] * C(j,i) % MOD);
        printf("%d ",g[i]);
    }
}