超平面公式推导及理解

  最近在学习《统计学习方法》，在学习第一个机器学习算法 ——感知机时，提出了超平面的概念，以下为超平面公式的推导及空间中任意一点距离超平面距离的推导。方便日后复习。参考

超平面

  在数学中，超平面是n维欧氏空间中，余维度为1的子空间[1]。即超平面是n维空间中的n-1维的子空间。它是平面中的直线、空间中的平面之推广。
  上面的这句话，读完应该不是很清楚，下面详细介绍一下。下面的解释参考了知乎上的文章:一根芦苇儿

• 我们都知道，0维的点可以将1维的线分为两个部分：
  
• 1维的线可以将2维的平面分成两个部分：
  
• 2维的面可以将3维的体分成两部分：
  
    以此类推，n-1维的子空间，可以将n维的空间分为两个部分。所以超平面就是这个n-1维子空间，他就像3维空间中的平面，可以用来将n维空间分割成为两个部分。

超平面公式

超平面公式推导

  在n维空间中，超平面该如何表示？
  在n维空间中，假设x0为超平面上的一点，w为超平面的法向量，对于超平面上任意的一点x,都存在：

令：

则变为：

这就是超平面的公式。

点到超平面的距离

  设n维超平面的方程为：

其中w为法向量，Q为平面上的一点。对于空间中的任意一点P,到超平面的距离为PQ在w上的投影，如下图所示：

如果求d,则可以更加三角函数关系知：

而其中的夹角余弦值为：

则可以得到点到超平面的距离为：