两种方式推导人口平衡方程(PBE)

前言

之前玩了玩雷诺运输定理(Reynolds transport theorem)，当时用的是人口平衡方程(Population Balance Equation)，后来一想不对啊，这引入没头没尾的。其实PBE在各个领域上都有运用，最最原始的版本是反映某一时期人口数量及其自然变动，到了后来就运用到物化生各个学科上面，描述的是物质的量能变化情况。现在主要落地的模型是经济学那一块，和机器学习倒是关联不大。不过现在MLDL的黑箱情况那么严重，以后发展方向会不会重新回到模型依靠型也不好说。
总之嘛，PBE也算是常见常用的偏微分模型了，一维形式的推导还是值得掌握一下的，就是我的偏微分忘得差不多了，推出差池是可以预见的……

化学推导

考虑物质M分布在截面积为A的长管中，对于∀区间[xa,Xb],物质M的浓度变化为：
M总量变化率=M流入区间速率-M流出区间速率
再考虑区间中发生的化学反应（M的生成和消耗），有：
M浓度变化率=M流入区间速率-M流出区间速率+M生成速率-M消耗速率
定义：
1、c(,):物质M在处时刻的单位面积浓度
2、J(,):物质M在边界处时刻从左向右的净流动线速度
3、(,,): 物质M在处时刻浓度为时，单位体积单位时间的净产生量，如上定义为关于,的函数
那么在如图所示的小区间中：
物质M的总量为：${\int }_{x_b}^{x_a}c(x,t)Adx$
物质M的净通过量：$AJ\left(x_a,t\right)-AJ\left(x_b,t\right)$
物质M净产生率为：${\int }_{x_b}^{x_a}f(x,t,c)Adx$

联立三式写出区间内M浓度变化率，然后化简一下，大致像这样
$$\begin{gathered} \frac{d}{dt}{\int }_{x_b}^{x_a}c(x,t)Adx=({\int }_{x_b}^{x_a}f(x,t,c(x,t))Adx+A\left(J\left(x_a,t\right)-J\left(x_b,t\right)\right) \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}{\int }_{x_b}^{x_a}c(x,t)dx=({\int }_{x_b}^{x_a}f(x,t,c(x,t))dx-{\int }_{x_b}^{x_a}\frac{\partial }{\partial x}J(x,t)dx \\ \Rightarrow {\int }_{x_b}^{x_a}\frac{\partial }{\partial t}c(x,t)+\frac{\partial }{\partial x}J(x,t)-f(x,t,c(x,t))dx=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial J(x,t)}{\partial x}+f(x,t,c) \end{gathered}$$
这样就应该over了

物理推导

和化学形式类似，先定义：
1、(,)为size为x的粒子团在t时刻的增长率；可以以弦嵌入的方法改写成速度场函数：即理解为粒子团在位置x处t时刻的移动速度
2、(,)为粒子在位置x处t时刻的密度，有Q=(,)(,)
当环境封闭时，粒子团在区间f中的净通过量为Q满足：
$$Q=V\left(x_a,t\right)c\left(x_a,t\right)-V\left(x_b,t\right)c\left(x_b,t\right)$$
同理可写出数量平衡方程并化简
$$\begin{gathered} \frac{d}{dt}{\int }_{x_a}^{x_b}c(x,t)dx=V\left(x_a,t\right)c\left(x_a,t\right)-V\left(x_b,t\right)c\left(x_b,t\right) \\ \Rightarrow {\int }_{x_{\mathrm{a}}}^{x_b}\left(\frac{\partial }{\partial t}c(x,t)-\frac{\partial }{\partial x}V(x,t)c(x,t)\right)dx=0 \end{gathered}$$
引入代表粒子破裂/聚合的项ℎ(,)，代表位置时刻粒子的破裂/聚合情况，则区间[,+]中的粒子净生成速率为ℎ(,)
$$\begin{gathered} \Rightarrow {\int }_{x_a}^{x_b}\frac{\partial }{\partial t}c(x,t)+\frac{\partial }{\partial x}V(x,t)c(x,t)-h(x,t)dx=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}V(x,t)c(x,t)+h(x,t) \end{gathered}$$
到这里应该也算over了，两种形式稍有差别，其实(,)/和/ (,)(,)代表的都是通量的偏导数，虽然定义形式不一样，但是表达内容相同。考虑(,,(,))=∗(,)(,) ，这两项同样是定义形式不同但内容相同的项，表示的是物质(粒子)的内部生成（破裂）。因此，PBE方程的本质是浓度（密度）的变化等于内部增长率减外部变化率。

化学式的流

在化学式中，J和c都是不封闭的，实际运用中往往要写出流函数J和浓度c的关系，且这个关系往往是通过经验总结得出的，我们称之为本构方程（constitutive equation），本构方程，又称本构关系(constitutive relations)，反映物质宏观性质的数学模型。通常把应力和应变率，或应力张量与应变张量之间的函数关系称为本构方程。它还描述特定连续介质运动学量、动力学量、热力学状态之间相互关系的方程。是以应力、应变和时间关系来描述物料的流变性质。常见形式有胡克定律，菲克定律，热传导方程等。
下面给两种不同的本构方程，一个是引入平流，当介质本身存在速度为v的沿x轴的宏观运动时：在∆内，位于_−∆<<_ 的物质会经过=_ 的节点进入>_，在单位时间内流入该区域的物质M的量为(,)∆，当∆充分小时，在_−∆<<_区域内与无关，退化为()。故此时物质M的流函数有：(,)=(,)，原式化为：
$$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}v(x,t)c(x,t)+f(x,t,c)$$
另一种情况，当物质M存在自由扩散，即从高浓度流向低浓度的时候，根据Fick定律有流动的速率正比于浓度的梯度，且(,)=− / (,)，那么：
$$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}D\left(\frac{\partial c(x,t)}{\partial x}\right)+f(x,t,c(x,t))$$
两种流是可以同时存在的，线性叠加即可。

边界条件

PDE肯定有边界条件，这也是我最吃不准的地方……
定义：
1、起始时间点没有粒子
2、对于边界条件，我们令成核率为每单位时间n0个粒子，这个速率应该与 = 0处的粒子通量相同
3、令为整个区域内的粒子总量,有：
$$\{\begin{array}{c}N={\int }_0^{\infty }c(x,t)dx\\ \frac{dN}{dt}=n_0\end{array}$$
联立上面三个定义：
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}\frac{dN}{dt}=n_0\\ \frac{dN}{dt}=\frac{d}{dt}{\int }_0^{\infty }c(x,t)dx\\ \frac{d}{dt}{\int }_0^{\infty }c(x,t)dx=V(0,t)c(0,t)-V(\infty ,t)c(\infty ,t)\end{array} \\ \Rightarrow V(\infty ,t)c(\infty ,t)=0 \end{gathered}$$
特别地：当粒子生长率会受到粒子的size影响，比如当粒子大小大于某个阈值，生长率会变为0时，我们并不要求上式成立。顺带一提，如果引入了粒子破裂/聚合的项ℎ(,)，那么就会附赠
$$\frac{dN}{dt}=n_0+{\int }_0^{\infty }h(x,t)dx$$
除此之外，如果放宽环境的限制，我们还可以引入标量Y表示环境中的连续相。这里省略了。

小结

上面推导的是一维情况，高维情况的话，参考下面的雷诺运输定理
https://blog.csdn.net/IceelfLuo/article/details/107348433
最终型的话是这样：
$$\frac{\partial }{\partial t}c(x,t)=-\nabla v(x,t)c(x,t)+f(x,t,c)$$
其余的也没啥好说，PBE的应用相当的广，wiki上给了一种最广义的形式：
$$\frac{d}{dt}{\int }_{{\Omega }_t(t)}d{V}_x{\int }_{{\Omega }_t(t)}d{V}_{r}f(x,r,t)={\int }_{{\Omega }_t(t)}d{V}_x{\int }_{{\Omega }_r(t)}d{V}_{r}h(x,r,\mathrm{Y},t)$$
但谁没事要用最广义的形式啊哈哈哈哈。
参考:
https://en.wikipedia.org/wiki/Population_balance_equation