基于用户的协同过滤算法（userCF）

1.定义

userCF：当一个用户A需要个性化推荐时，可以先找到和他有相似兴趣的其他用户，然后把那些用户喜欢的、而用户A没有听说过的物品推荐给A。这种方法称为基于用户的协同过滤算法。
基于用户的协同过滤算法主要包括两个步骤：

2.第一步：找到和目标用户兴趣相似的用户集合。

利用行为的相似度计算兴趣的相似度。给定用户u和用户v，令N(u)表示用户u曾经有过正反馈的物品集合，令N(v)为用户v曾经有过正反馈的物品集合。那么，我们可以通过如下的Jaccard公式简单地计算u和v的兴趣相似度：

或者通过余弦相似度计算：

以下图用户行为记录为例，举例说明UserCF计算用户兴趣相似度的例子。在该例中，用户A对物品{a, b, d}有过行为，用户B对物品{a, c}有过行为，利用余弦相似度公式计算用户A和用户B的兴趣相似度为：

同理，我们可以计算出用户A和用户C、 D的相似度：

这种方式对两两用户都利用余弦相似度计算相似度。这种方法的时间复杂度是O(|U|*|U|)，这在用户数很大时非常耗时。事实上，很多用户相互之间并没有对同样的物品产生过行为，即相似度为0。这种方式将很多时间浪费在了计算这种用户之间的相似度上，换一个思路，可以首先计算出 $|N(u)\bigcap N(v)|\ne 0$的用户对$(u,v)$，然后再对这种情况除以分母$\sqrt{|N(u)||N(v)|}$。为此，可以首先建立物品到用户的倒排表，对于每个物品都保存对该物品产生过行为的用户列表。
以下图的用户行为为例。首先，需要建立物品—用户的倒排表，然后，建立一个4×4的用户相似度矩阵W，对于物品a，将W[A][B]和W[B][A]加1，对于物品b，将W[A][C]和W[C][A]加1，以此类推。扫描完所有物品后，我们可以得到最终的W矩阵。这里的W是余弦相似度中的分子部分，然后将W除以分母可以得到最终的用户兴趣相似度。

3.第二步：找到这个集合中的用户喜欢的，且目标用户没有听说过的物品推荐给目标用户。

得到用户之间的兴趣相似度后， UserCF算法会给用户推荐和他兴趣最相似的K个用户喜欢的物品。如下的公式度量了UserCF算法中用户u对物品i的感兴趣程度：

其中， S(u, K)包含和用户u兴趣最接近的K个用户， N(i)是对物品i有过行为的用户集合， $w_{uv}$是用户u和用户v的兴趣相似度， $r_{vi}$ 代表用户v对物品i的兴趣，因为使用的是单一行为的隐反馈数据，所以所有的$r_{vi}$=1。
因此可以给倒排序图中的用户A进行推荐。选取K=3，用户A对物品c、 e没有过行为，因此可以把这两个物品推荐给用户A。根据UserCF算法，用户A对物品c、 e的兴趣是：

从而我们在实际的操作中，就可以根据最后得到的p，推荐给用户rank前N的物品。

4.用户相似度计算的改进

用户兴趣相似度的最简单的公式（余弦相似度公式）过于粗糙，以图书为例，如果两个用户都曾经买过《新华字典》，这丝毫不能说明他们兴趣相似，因为绝大多数中国人小时候都买过《新华字典》。但如果两个用户都买过《数据挖掘导论》，那可以认为他们的兴趣比较相似，因为只有研究数据挖掘的人才会买这本书。换句话说，两个用户对冷门物品采取过同样的行为更能说明他们兴趣的相似度。
根据用户行为计算用户的兴趣相似度：

该公式通过$\frac{1}{\log 1+|N(i)|}$惩罚了用户u和用户v共同兴趣列表中热门物品对他们相似度的影响。