[OI]Tarjin算法整理

Tajin算法由Robert Tarjan提出，他可以在线性时间内帮我们找到有向图中的所有强连通分量。

其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

1. 数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
2. 堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。
3. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。
4. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
5. 每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。
6. 继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

Tarjan算法的操作原理如下：

1. Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
2. 可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。
3. 这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

具体算法演示下图所示：

代码实现：

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#include #include #define MAXN 100000 struct Edge { int from ; int to ; } e [ MAXN + 1 ] ; typedef int arr [ MAXN + 1 ] ; arr head , nxt , stack , DFN , LOW ; bool instack [ MAXN + 1 ] ; int tot , index , top , cnum ; std :: vector < int > cset [ MAXN + 1 ] ; //存强连通量 inline void link ( int from , int to ) { //连边 e [ ++ tot ] = ( Edge ) { from , to } ; nxt [ tot ] = head [ from ] ; head [ from ] = tot ; } inline int min ( int a , int b ) { if ( a < b ) return a ; return b ; } void tarjan ( int u ) { //模拟图中过程 int v ; DFN [ u ] = index ++ ; LOW [ u ] = DFN [ u ] ; stack [ ++ top ] = u ; //模拟栈 instack [ u ] = true ; for ( int i = head [ u ] ; i != 0 ; i = nxt [ i ] ) { v = e [ i ] . to ; if ( DFN [ v ] == 0 ) { tarjan ( v ) ; LOW [ u ] = min ( LOW [ u ] , DFN [ v ] ) ; } else if ( instack [ v ] ) { LOW [ u ] = min ( LOW [ u ] , DFN [ v ] ) ; } } if ( DFN [ u ] == LOW [ u ] ) { //找到强连通量，退栈 cnum ++ ; do { v = stack [ top -- ] ; instack [ v ] = false ; cset [ cnum ] . push_back ( v ) ; //printf("%d,",v); } while ( u != v && top > 0 ) ; } } int main ( ) { int x = 1 , y = 1 , ulimit = 0 ; scanf ( "%d%d" , &x , &y ) ; while ( x > 0 && y > 0 ) { link ( x , y ) ; scanf ( "%d%d" , &x , &y ) ; ulimit = x > ulimit ? x : ulimit ; } //for(int i=1;i<=ulimit;i++) { printf("{"); tarjan ( 1 ) ; for ( int i = 1 ; i <= cnum ; i ++ ) { printf ( "{" ) ; while ( ! cset [ i ] . empty ( ) ) { printf ( "%d," , cset [ i ] . back ( ) ) ; cset [ i ] . pop_back ( ) ; } printf ( "}" ) ; } //printf("}");}; return 0 ; }

 

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They Said "Admonish your friends in private, praise them in public."

原文地址：http://ozem.pw/archives/585