一、易错概念
- 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；(作业本推斜着)
棱柱的定义中有三个条件呢，
- 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥。(比如三角楔子)
二、位置关系判定中的难点
主从关系的转换，比如证明\(A_1F\perp DE\)不容易时，我们转而证明\(DE\perp A_1F\)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
区分清楚判定定理和性质定理。
平行关系的相互转化，
垂直关系的相互转化
二、典例剖析
例1【2016江苏高考卷】
如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，点\(F\)在侧棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。
求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\).
分析：现在需要\(\Leftarrow\)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)
\(\Leftarrow\)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)内的某直线\(?\)
某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。
证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，则有\(DE//AC//A_1C_1\)，
又因为直线\(A_1C_1\subsetneqq\)平面\(A_1C_1F\)，
\(DE\not\subseteq\)平面\(A_1C_1F\)，则直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)。
求证(2)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\).
分析：\(\Leftarrow\)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\)
\(\Leftarrow\)一个面内的某条直线\(\perp\)另一个面内的两条相交直线。
此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线\(A_1F\)，
那么此时就需要在另一个平面\(B_1DE\)内找两条相交直线，且都要能证明和直线\(A_1F\)，
如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，
思路一大致为：\(A_1F\perp\begin{cases}B_1D\\ DE\end{cases}\)，
从而转证\(DE\perp A_1F\)，从而转证\(A_1C_1\perp A_1F\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；
思路二大致为：\(B_1D\perp\begin{cases}A_1F\\ A_1C_1\end{cases}\)，
从而转证\(A_1C_1\perp B_1D\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(B_1D_1\)的平面\(ABB_1A_1\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；
证明：你能自主写出证明过程吗？
【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明\(A_1F\perp DE\)时，包含了视角上的转换，
如证明\(A_1F\perp DE\)不容易时，我们转而证明\(DE\perp A_1F\)，即转证\(A_1C_1\perp A_1F\)，
从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，
例2(2016衡水金卷)
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AB\perp PA\)，\(AB//CD\)，且\(PB=BC=BD=\sqrt{6}\)，\(CD=2AB=2\sqrt{2}\)，\(\angle PAD=120^{\circ}\)，\(E\)和\(F\)分别是棱\(CD\)和\(PC\)的中点。
(1).求证：平面\(BEF\perp\)平面\(PCD\).
证明：因为\(E\)为\(CD\)的中点，\(CD=2AB\)，则\(AB=DE\)，又因为\(AB//CD\)，所以四边形\(ABED\)为平行四边形。
又因为\(BC=BD\)，\(E\)为\(CD\)的中点，故\(BE\perp CD\)，则四边形\(ABED\)为矩形，则\(AB\perp AD\)。
又因为\(AB\perp PA\)，\(PA\cap AD=A\)，所以\(AB\perp 平面PAD\)。
又因为\(AB//CE\)，所以\(CD\perp 平面PAD\)，所以\(CD\perp PD\)。
又因为\(EF//PD\)，所以\(CD\perp EF\)。又因为\(CD\perp BE\)，所以\(CD\perp 平面BEF\)。所以平面\(PCD\perp 平面BEF\)。
(2).求直线\(PD\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值。
例3(2017凤翔中学第二次月考理科第19题)
如图，\(\Delta ABC\)和\(\Delta BCD\)所在平面互相垂直，且\(AB=BC=BD=2\)，\(\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}\)，\(E、F、G\)分别是\(AC、DC、AD\)的中点，
(1)求证：\(EF\perp 平面BCG\)
分析提示：只要证明\(AD\perp 平面BCG\)
(2)求三棱锥\(D-BCG\)的体积。
分析：在平面\(ABC\)内，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延长线于\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，由\(G\)到平面\(BCD\)距离\(h\)是\(AO\)长度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，故\(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{1}{2}\)。
例4(数学常识整理储备)
如图所示的是正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用结论：
(1)体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如图1)
证明：令体对角线\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B'-ACD'\)可知，\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，同理\(AD'\perp B'D\)，故体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。
(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如图1，利用等体积法)
(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如图2)
(4)平面\(ACD'\)与平面\(A'BC'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)
(5)三棱锥\(B'-ACD'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD'\)是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。
(8)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2：1：\sqrt{2}\)；
正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2：1：\sqrt{3}\)；
(9)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}：1：2\)；
正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}：1：3\)；
例5(2017凤翔中学第二次月考理科第15题)
已知三棱锥\(S-ABC\)满足\(SA、SB、SC\)两两垂直，且\(SA=SB=SC=2\)，\(Q\)是三棱锥\(S-ABC\)外接球上的一个动点，则点\(Q\)到平面\(ABC\)的距离的最大值是多少？
仿上，我们可以将此三棱锥还原为正方体的一部分，且正方体有个外接球，那么点\(Q\)到平面\(ABC\)的距离的最大值即是正方体的体对角线的\(\cfrac{2}{3}\)，而体对角线长为\(\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\)，故所求值为\(\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\)。
例6(2017凤翔中学第三次月考理科第10题)
已知球面上有\(A、B、C\)三点，如果\(|AB|=|BC|=|AC|=2\sqrt{3}\)，且球心到平面\(ABC\)的距离为1，则该球的体积为多少？
分析：本题目关键是求球的半径\(R\) ，如上例4中的模型，已知的三点可以安放在图中的点\(A'、B、C'\)处，但是要注意，已知的平面\(ABC\)和模型中的平面\(A'BC'\)平行，不一定重合，此时求半径问题就转化为求正三棱锥的侧棱的长问题了，而且此时正三棱锥的底面边长为\(2\sqrt{3}\)，正三棱锥的高是1，高的垂足\(E\)是下底面的中心，则其侧棱\(OA\)为\(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，故\(R=\sqrt{5}\)，故该球的体积\(V_球=\cfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3=\cfrac{20\sqrt{5}}{3}\pi\)。
例7(2017凤翔中学第三次月考理科第19题)
如图所示，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是个边长为2的正方形，侧棱\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，且\(PA=2\)，\(Q\)是\(PA\)的中点.
（1）证明：\(BD\perp\)平面\(PAC\) ；
暂略
（2）求二面角\(C-BD-Q\)的余弦值。
分析：有题可知，\(AB、AP、AD\)两两垂直，以\(A\)为坐标原点，分别以\(AB、AD、AP\)所在直线为\(x，y，z\)轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则点\(B(2，0，0)\)，\(C(2，2，0)\)，\(D(0，2，0)\)，\(Q(0，0，1)\)，
所以\(\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)\)，\(\overrightarrow{BQ}=(-2，0，1)\)，
设平面\(BDQ\)的法向量为\(\vec{m}=(x，y，z)\)，则有
\(\begin{cases}\vec{m}\perp\overrightarrow{BD}\\\vec{m}\perp\overrightarrow{BQ}\end{cases}\) \(\Longrightarrow \begin{cases}\vec{m}\cdot\overrightarrow{BD}=0\\\vec{m}\cdot\overrightarrow{BQ}=0\end{cases}\)
即\(\begin{cases}-2x+2y=0\\-2x+z=0\end{cases}\)，可以取\(\vec{m}=(1，1，2)\)
平面\(BDC\)的法向量为\(\vec{n}=(0，0，1)\)，
设二面角\(C-BD-Q\)为\(\theta\)，由图可知，\(\theta\)为钝角，则有
\(cos\theta=-|cos<\vec{m}，\vec{n}>|=-\cfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=-\cfrac{2}{\sqrt{6}}=-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)
所以二面角\(C-BD-Q\)的余弦值为\(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)。
例8已知底面是平行四边形的四棱锥\(P-ABCD\)，点\(E\)在\(PD\)上，且\(PE：ED=2：1\)，在棱\(PC\)上是否存在一点\(F\)，使得\(BF//\)面\(AEC\)，证明并说出点\(F\)的位置。
https://www.geogebra.org/geometry/d52r63wv
分析：在棱\(PC\)上存在一点\(F\)，\(F\)为\(PC\)的中点，使得\(BF//\)面\(AEC\)，理由如下：
取\(PE\)的中点\(H\)，\(PC\)的中点\(F\)，联结\(BF\)、\(HF\)、\(BH\)，联结\(AC\)和\(BD\)，交点为\(O\)，
则由\(HF\)是\(\Delta PEC\)的底边\(EC\)的中位线，故\(HF//EC\)；
由\(EO\)是\(\Delta DBH\)的底边\(BH\)的中位线，故\(BH//EO\)；
(说明：这样的话，平面\(BHF\)内的两条相交直线\(HF\)和\(BH\)分别平行与另一个平面\(AEC\)内的两条相交直线\(EO\)和\(EC\)，则这两个平面就平行）
又由于\(HF\subsetneqq\)平面\(BHF\)，\(BH\subsetneqq\)平面\(BHF\)，\(BH\cap HF=H\)，
\(EO\subsetneqq\)平面\(AEC\)，\(EC\subsetneqq\)平面\(AEC\)，\(EO\cap EC=E\)，
则平面\(BHF//\)平面\(AEC\)，
又\(BF\subsetneqq\)平面\(BHF\)，
则有\(BF//\)平面\(AEC\)，猜想得证。
例9【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知\(l\)，\(m\)是空间中两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，则下列说法一定正确的是【】
\(A.若 l//\alpha，\alpha//\beta，m\subset \beta，l\not\subset \beta\)，则\(l//m\)；
\(B.若\alpha\perp \beta，l//\alpha，m\perp l，m\not\subset \beta\)，则\(m\perp \beta\)；
\(C. 若l//m，m//\alpha，l\perp\beta，l\not\subset \alpha\)，则\(\alpha\perp \beta\)；
\(D.若l\perp\alpha，m\perp\beta，\alpha\perp \beta\)，则\(l//m\)；
分析：选\(C\)；可以借助长方体模型或正方体模型来判断线面位置关系；主要使用排除法；
例10【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(O\)是四边形\(ABCD\)的中心，关于直线\(A_1O\)，下列说法正确的是【】
分析：由于题目中给定点\(O\)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\(E\)，如图所示，
当连结\(CE\)时，我们就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以说明；
由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，则可知\(A_1O//CE\)，
又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故选\(C\)，
此时，我们也能轻松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三个选项是错误的。