【解题总结】SWERC 2019（Codeforces Gym 102501）

我解决的：B（1 WA）、I、J、A（3 WA）、D（1 WA，1 TLE）。

没看的：无。

旁观的：C、F、K、G、H。

看了但没做出来的：E、L。

I Rats

简单题，略。

B Biodiversity

简单题，略。

C Ants

简单题，略。

A Environment-Friendly Travel

最短路，略。本来应该一次过的题目，但写错了好几个地方，简直丢人。

F Icebergs

题意：给定几个简单多边形，计算其面积的和。

计算几何模板题，丢人的在于我还不会写（板子也没带）。

D Gnalcats

题意：有一些可以对栈进行的操作。栈中的元素有两种：不可分割，称为简单类型（Simple）；由两个元素构成的二元组，称为复杂类型（Complex）。给定两个操作序列，问对于任意一个只包含简单类型元素的、足够长的栈，这两个操作序列是否等价。等价定义为：要么经两个操作序列分别操作后，得到的两个结果相等，要么两个操作序列在该栈上均失败。

本题就是模拟，先构造一个比较长的栈，每个元素有一个不同的编号，然后两个操作序列分别模拟即可。

最后判断二元组相等的时候要用一些 Hash，否则会 TLE。

K Birdwatching

题意：给定一张有向图和一个点 $T$，问有哪些点满足其有一条边连向 $T$，且其只能经这条边到达 $T$。

我们先取出那些有一条边连向 $T$ 的点，称为关键点。显然答案是其的子集。

随后扔掉关键点指向 $T$ 的边，再构建反图。我们希望对每一个关键点，看看是否有另一个关键点到它的路径。

为此，我们可以对每一个关键点 $u$ 维护一个集合 $S(u)$，表示可以到达 $u$ 的关键点的集合。我们保证这个集合大小不超过 2，因为只要达到了 2 就表明 $u$ 不是答案了。

随后以每一个关键点为起点 DFS 即可。时间复杂度除了最后排序外为线性。

#include 
using namespace std;
int read(){
    int f = 1, x = 0;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -f; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x; 
}
int n, m, T;
int to[100005], nxt[100005], at[100005] = {0}, cnt = 0;
vector<int> keyp, ans;
int S[100005][2] = {0};
void dfs(int cur, int st){
    if (S[cur][1] || S[cur][0] == st || S[cur][1] == st)
        return ;
    if (!S[cur][0]) S[cur][0] = st;
    else S[cur][1] = st;
    for (int i = at[cur]; i; i = nxt[i])
        dfs(to[i], st);
}
int main(){
    n = read(), m = read(), T = read() + 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i){
        int u = read() + 1, v = read() + 1;
        if (v == T) keyp.push_back(u);
        else {
            to[++cnt] = u, nxt[cnt] = at[v], at[v] = cnt;
        } 
    }
    for (int x: keyp) dfs(x, x);
    
    for (int x: keyp){
        if (!S[x][1]) ans.push_back(x);
    }
    printf("%u\n", ans.size());
    sort(ans.begin(), ans.end());
    for (int x: ans)
        printf("%d\n", x - 1);
    return 0;
}

J Counting Trees

题意：给定一个二叉树关于点权的中序遍历，满足每一个点的点权均不小于父亲节点，问具有这种中序遍历的不同形态的二叉树有多少个。

看样例 1，可以看出，如果点权互不相同，那么结果是唯一确定的。因为每次可以找到最小权的点，其一定是当前子树的根，然后在其左右递归下去即可。

那么如果有多个最小权的节点呢？显然，它们应该是连在一起的，否则就破坏了题目的条件。如果这些节点有 $t$ 个，那么这些节点形成的树的数目就是 ${\mathrm{Catalan}}_t$。而对于被最小权节点分割开的区间，它们的答案只要在此基础上乘起来就行了。

这种分治的做法很直观，但是时间复杂度难以降下来。实际上可以用一些单调栈的做法，考虑每一个点权之前，离其最近的、不大于它的点权。然后考虑后者是否将前者隔断。具体可以看代码理解。

#include 
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int read(){
    int f = 1, x = 0;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -f; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x; 
}
int n, a[1000005], inv[1000005], catalan[1000005];
int st[1000005], top, lft[1000005], cnt[1000005] = {0};
void init(){
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = read();
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n + 1; ++i)
        inv[i] = 1ll * (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
    catalan[0] = catalan[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i){
        catalan[i] = 1ll * catalan[i - 1] * inv[i] % MOD;
        catalan[i] = 1ll * catalan[i] * (2 * i - 1) % MOD;
        catalan[i] = 1ll * catalan[i] * (2 * i) % MOD;
        catalan[i] = 1ll * catalan[i] * inv[i + 1] % MOD;
    }
}
void solve(){
    a[0] = -1;
    st[top = 1] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        while (a[st[top]] > a[i])
            --top;
        lft[i] = st[top];
        st[++top] = i;
    }
    
    // 用 cnt 计算位于同一个子树内的相同点权个数
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        if (a[lft[i]] < a[i]){
            res = 1ll * res * catalan[cnt[a[i]]] % MOD;
            cnt[a[i]] = 1;
        }else{
            ++cnt[a[i]];
        }
    }
    for (int i = 0; i <= 1000000; ++i)
        res = 1ll * res * catalan[cnt[i]] % MOD;
    printf("%d\n", res);
}
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
}

H Pseudo-Random Number Generator

题意：给了一个神秘的随机数生成器，求前 $N$ 个数中有多少是偶数。

由抽屉原理，必然存在一个循环节。可以先用 Floyd 判圈算法算出进入循环节前要有多少个数，以及循环节有多长。然后每 $10^7$ 个数打一个表，暴力计算即可。

G Swapping Places

题意：有 $S$ 种动物，有 $L$ 个不同种动物间的友好关系（没有传递性）。给定一个长为 $N$ 的动物队列，相邻的动物如果有友好关系就可以交换位置。问可以得到的字典序最小的队列。

由于关系无传递性，不能用并查集维护。

注意到位置 $i$ 和 $j$ 的动物不可交换，且 $i<j$，那么无论如何，$i$ 都会在 $j$ 前面。因此可以连一条 $i$ 到 $j$ 的边，然后跑一个字典序最小的拓扑排序即可。

问题在于这样边的数目会很多，是 $O(N^2)$ 的。我们改进一下，对于每一个位置 $j$，如果前面有不可与其交换的动物，那就让最靠后的那个连向 $j$。于是边数下降到了 $O(NS)$，可以通过。

总时间复杂度为 $O(NS+N\log N)$。

#include 
using namespace std;
int S, L, N;
string s1, s2;
vector<string> vec;
unordered_map<string, int> mp;
bool ok[205][205] = {0};
int que[100005], last_pos[205] = {0};
vector<int> G[100005];
int du[100005] = {0}, ans[100005];
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int> >, 
    greater<pair<int, int> > > pq;
void init(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> S >> L >> N;
    for (int i = 1; i <= S; ++i){
        cin >> s1;
        vec.push_back(s1);
    }
    sort(vec.begin(), vec.end());
    for (int i = 1; i <= S; ++i){
        mp[vec[i - 1]] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= L; ++i){
        cin >> s1 >> s2;
        int u = mp[s1], v = mp[s2];
        ok[u][v] = ok[v][u] = true;
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++i){
        cin >> s1;
        int id = mp[s1];
        que[i] = id;
        for (int j = 1; j <= S; ++j){
            if (!ok[j][id] && last_pos[j]){
                G[last_pos[j]].push_back(i);
                ++du[i];
            }
        }
        last_pos[id] = i;
        if (!du[i]) pq.push(make_pair(id, i));
    }
}
void solve(){
    int tot = 0;
    while (!pq.empty()){
        int h = pq.top().second;
        pq.pop();
        ans[++tot] = h;
        for (int v: G[h]){
            --du[v];
            if (!du[v]) pq.push(make_pair(que[v], v));
        }
    }
    for (int i = 1; i < N; ++i)
        cout << vec[que[ans[i]] - 1] << ' ';
    cout << vec[que[ans[N]] - 1] << '\n';
}
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
}

E Pixels

待补。。。

L River Game

待补。。。