ACM博弈学习小结

一、心得体会

1.ACM博弈题,不会的时候觉得难于上青天,会的时候觉得没有比博弈更水的题了;

博弈题看到的第一眼觉得是难题,代码敲完顿觉水题。你可能花半个小时去找规律,然后仅花2分钟敲代码。

2.博弈是单人游戏,也可以说是自己跟自己玩,因为“双方都做出最优决策”这一点限制了,最后的结果不取决

于你是谁,不取决于你的智商,只取决于你面对的局面

3.局面,这是博弈里面最最最重要的东西!!!(所谓SG也是指这一局面的SG),博弈是一种不公平的游戏

因为游戏开始的时候已经结束了,影响你胜负的就是你所面对的局面,因为双方采取最优策略

故而局面必然会以双方当前对自己最优的路径走下去,所以结局已经确定了

4.当你面对一个局面的时候如何做出最优的决策呢?你一定是走到了最后一步才确定了胜负,所以当前的局面

往往需要从最终的局面逆推而来(也就是从一个已知胜负的局面一步步推导其他的局面,有了这样的思想,SG

也就不那么难理解了)

5.关于SG:

入门了博弈的人都知道,博弈里面常常用到一个重要的概念 -- SG。但是SG是什么?你去百度的话会有非常专业的解答,

但是那些所谓的专业绝对让人看的头疼。这里说说我所理解的博弈里面的SG(仅限博弈)

挑程里是这样解释SG值的:

          任意一步所能转移到的子局面的SG值以外最小非负整数

仔细体会一下这句话,你会发现,这里对SG值的定义是递归定义的!

当前局面的SG是什么呢?请先去找当前局面的子局面的SG值。

显然,递归是有一个边界的,SG是一种递归,那么它也是有边界的,

不难发现,它的边界是没有子局面的局面(也就无法再转移的局面)

什么样的局面没有子局面呢,也就是胜负已定的局面。在第4点说到,

当前局面的最优策略是从胜负已定的最终局面逆推来的,这里的SG其实也是

说了这些,那么SG到底是什么呢?

联想当年学习递归的一个例子:

f(n)  =   1         , n = 1

            f(n-1) +1  ,n > 1

这样一个函数是我们学习递归时的经典例子,你说这里的F到底是什么?其实它不过是一个函数而已。

SG也是一样,它只是一个函数而已,函数这个词翻译成英语再翻译成中文,就成了“功能、作用”

那么SG的作用是什么呢?

举一个最简单的例子:

有一堆石头数量为n,两个人轮流从石堆拿{a1,a2,a3,......,ak}个石头,先取完所有石头者胜。

根据前面说的,首先找胜负已定的局面,当n=0的时候,石头被拿完了,败态

那么sg[0] = 0表示面对0个石头的局面者败,然后根据sg的定义,我们可以求出其他局面的sg值

(为了使每种局面确保有可以转移的子局面,我们假设{a1,a2,a3......,ak}里面一定有1,例如假设没有1的话

,假设为{5,6,7}那么局面4没有可以转移的子局面,这样会出现平局的情况,我们后面再说平局)

这样可以求出所有局面的sg值,然后sg的作用出来了~

我们发现,若sg[x] = 0,那么x是败态,这其中很神奇,鶸也说不清楚,只说一下胜态败态的转移

(其实光理解的话可能还是不知道什么是SG,但是看了后面的题目就能理解了并知道怎么用SG找到游戏的胜态败态了)

6.胜态与败态:

之前说了,博弈里面,游戏开始的时候已经结束了,影响你胜负的就是你所面对的局面。

也就是说,这个局面觉得了你的胜负,我们称能让你走向胜利的局面称为胜态,也是必胜态,专业术语也叫P态(积极的英语单词怎么写?)

称让你走向失败的状态称为败态,也是必败态,专业也叫N态(消极的英语单词鶸也不会拼。。。)

有一个很显然的规律:

只要当前状态可以转移到的状态中有一个是败态,那么当前状态就是胜态。

如果当前状态可以转移到的所有状态都是胜态,那么当前状态就是败态。

这两句话互为逆否命题,一眼就看出是对的就不解释了。

可以胜态败态的角度去理解下SG。

7.Nim游戏:

关于这个Nim游戏,百度的话又是一大堆乱七八糟看不下去的东西,

它的最原始的版本大概是说有N堆石头,{a1,a2,a3......,an}表示每堆的数量,两个人轮流选一个石堆拿若干石头(不能不拿),

如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负。

这个游戏有个非常完美的结论:

令   s  =  a1^a2^a3....^an(^符号表示异或运算)

若 s = 0,则此局面为败态,否则为胜态

对于上面的式子,我们不难发现,当你从一个石堆拿走一些石头(即改变一个ai),一定会发生胜态和败态的转变

胜态一定会转移成败态,败态也一定有策略转移成胜态

当这个结论与SG结合,神奇的事发生

我们发现sg异或和为0的状态也是败态,否则胜态。

另外,很多游戏都可以转变为Nim的形式,例如POJ 1704(挑程上有讲解)

8.关于平局:

我们发现,一个必胜态的获得,必然是因为它可以转移到一个败态,那么是不是说相比于平局我们更倾向于败态呢?

如果有更多的败态,理论上可以转移出更多的胜态,但是孩子别太天真了啊~

博弈将“对敌人的仁慈就是对自己的残忍”这句话发挥的淋漓尽致,当你选择败态的时候,对方却不会傻傻按照你的想法给你转移胜态的

该你输的时候你还是得输,所以,在博弈里的决策,一定要是对自己最有利对对手最不利的策略才是最优策略,、

也就是说,如果实在不能赢,你一定宁可平局,也不要选择败态。例如今年HDU 多校题5754 里面马的情况

9.当初关于博弈看了很多但是都只是似懂非懂,只有做多了题才有更多的·体会

二、博弈做题技巧

做了个专题:点击打开博弈专题

题目其实好多都是做过的原题,不过以前都是自己找规律的,这次就是用SG打表找规律,通过这些题目也算是知道怎么使用SG找规律了

其中的题目大多都是打表找规律,不过也有一些有趣的题目

PS:题目选自kuangbin 的博弈分类:点击打开链接(难度的话,后面的题都蛮简单,前面的题稍难)

1.打表找规律题:

W - A multiplication game
输入n,从1开始,每次乘以2~9的数,谁最先达到n谁胜
直接上代码,其中solve()函数是打表的过程,找完规律之后直接解决不需要solve,不过为了记录自己的思路,打表的代码也保留了
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
	败态: 
	10 - 18 
	163 - 324
	2917 - 5832
	综上:
	败态:
	(9*18^i,18*18^i]
	i从0开始 
*/
const int N = 100000; 
int sg[N+4];
void solve()
{
	sg[1] = 0; 
	for (int i = 2;i <= N;++i)
	{
		sets;
		for (int j = 2;j <= 9;++j)
		{
			int to = i/j;
			if (i%j)to++;
			s.insert(sg[to]); 
		}
		int g = 0;
		while (s.count(g)) ++g;
		sg[i] = g;
	}
	for (int i = 2000;i <= 9000;++i) 
	{
		cout<l[i]&&x<=r[i]) return 1;
	}
	return 0;
}
int main()
{
//	solve();
	ll n;init();
	while (~scanf("%I64d",&n))
	{
		if (loser(n)) puts("Ollie wins.");
		else puts("Stan wins.");
	}
	return 0;
}

S - A Multiplication Game

S题和W题一样的,不说了

R - 悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者

和S、W的意思也差不多,不过操作从乘法变成了加法,由于数据小,于是也没有找规律,直接打完所有表把规律存在表里就好

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10010;
bool sg[N+4];
int n,m;
void turn(int n)//以败态转移
{
	for (int i = 1;i <= m;++i)
	{
		sg[n+i] = 1;//胜态 
	}
} 
void solve()
{
	mem(sg,0);
	sg[0] = 0;
	for (int i = 0;i <= n;++i)
	{
		if (sg[i] == 0)//败态
		{
			turn(i);
		} 
	}
}
int main()
{
	int T;cin>>T;
    while (T--)
    {
		cin>>n>>m;
    	solve();
    	if (sg[n]) puts("Grass");
    	else puts("Rabbit");
	}
    return 0;
}

O - Calendar Game
同样从终态逆推,不过逆推的过程有点麻烦,导致看起来都像模拟了。。。
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
bool isleap(int y)
{
	if (y%400==0||(y%4==0&&y%100!=0)) return 1;
	else return 0;
}
struct Date
{
	int y,m,d;
	Date()
	{
		y = 2001,m = 11,d = 4;
	} 
	Date(int y,int m,int d):y(y),m(m),d(d){} 
	bool operator == (const Date &a) const
	{
		return y==a.y&&m==a.m&&d==a.d;
	}
	bool operator < (const Date &a) const
	{
		if (y==a.y)
		{
			if (m == a.m) return dsg;
bool ok(Date x)
{
	int m = x.m;
	int d = x.d;
	if (m == 2) 
	{
		if (isleap(x.y)) return d<=29;
		else return d<=28; 
	}
	else if (m==1||m==3||m==5||m==7||m==8||m==10||m==12) return d<=31;
	else return d <= 30;
}
void output(Date d)
{
	cout<>T;
    while (T--)
    {
    	Date n;
    	Sint2(n.y,n.m);Sint(n.d);
    	if (sg[n]) puts("YES");
    	else puts("NO");
	}
    return 0;
}


V - Digital Deletions

题意是对于一个数字形式的字符串,可以把每一位的数字变小(包括0,不为负),可以删去一个0以及0右边的所有数一起删除,两人轮流操作

谁移除最后一个数胜

同样逆推局面推出胜态败态

逆推的时候操作变成将数字变大,或者在后面补0及其他数字,因为长度不超过6,所以还是很简单的

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000000;
bool sg[N+4];
int dig[10];
int getdig(int x)
{
	int len = 0;
	while (x)
	{ 
		dig[++len] = x%10;
		x /= 10;
	}
	return len;
}
int turntonum(int bit[],int n)
{
	int num = 0;
	for (int i = 1,j = 1;i <= n;++i,j*=10)
	{
		num += bit[i]*j;
	}
	return num;
}
void solve(int n,int i)
{
	if (i == 1)
	{
		n*=10;
		for (int j = 0;j <= 9;++j) 
		{
//			cout<>s)
	{
		if (s[0] == '0') puts("Yes");
		else 
		{
			stringstream ss(s);
			int n;
			ss>>n;
			if (sg[n]) puts("Yes");
			else puts("No");
		}
	}
	return 0;
}

M - Play a game

大胆猜测,小心求证,自己随便玩几种局面就会发现奇败偶胜(代码略)

    int n;
    while (cin>>n)
    {
    	if (!n) break;
    	if (n&1) puts("ailyanlu");
    	else puts("8600");
    }

L - Good Luck in CET-4 Everybody!

依旧简单打表找规律,自己手动找规律也可以,不过为了练习下SG的运用,还是用SG打表(也比手动找规律更快更准)

具体用SG打表找规律的方法代码中见:

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000;
int sg[N+7];
void fool()
{
	sg[0] = 0;
	for (int i = 1;i <= N;++i)
	{
		sets;
		s.insert(sg[i-1]);
		for (int j = 1;j <= 10;++j)
		{
			int to = i - (1<>n)
	{
		if (n%3==0)//败
		{
			puts("Cici");
		} 
		else puts("Kiki");
	}
    return 0;
}

K - kiki's game
打表找规律,发现当n和m都是奇数的时候必败,打表代码注释了没删除以供参考
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100;
int sg[N+4][N+4];
bool ok(int x,int y)
{
	return x>=1&&y>=1;
}
void fool()
{
	sg[1][1] = 0;
	for (int i = 1;i <= 70;++i)
	{
		for (int j = 1;j <= 70;++j)
		{
			if (i == 1&&j == 1) continue;
			sets;
			if (ok(i-1,j))
			{
				s.insert(sg[i-1][j]);
			}
			if (ok(i,j-1))
			{
				s.insert(sg[i][j-1]);
			}
			if (ok(i-1,j-1))
			{
				s.insert(sg[i-1][j-1]);
			}
			int g = 0;
			while(s.count(g)) ++g;
			sg[i][j] = g;
		}
	}
	for (int i = 1;i <= 20;++i)
	{
		for (int j = 1;j <= 20;++j)
		{
			if (sg[i][j] == 0)//败态
			{
				cout<<"("<>n>>m)
	{
		if (n==0&&m==0) break;
		if ((n&1)&&(m&1)) puts("What a pity!");
		else puts("Wonderful!");
	}
    return 0;
}


J - 取石子游戏

斐波那契博弈哦,必败态是斐波那契数

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
bool check(ll x)
{
	ll f1 = 1,f2 = 1;
	ll f = 2;
	while (f <= x)
	{
		f = f1 + f2;
		if (f == x) return 1;
		f1 = f2;
		f2 = f;
	}
	return 0;
}
int main()
{
	ll n;
	while (cin>>n)
	{
		if (!n) break;
		if (check(n)) puts("Second win");
		else puts("First win");
	}
	return 0;
} 

I - 邂逅明下

三个变量,找规律的时候不是那么容易,然后说到博弈还有一个特点就是,大胆猜测~

最后发现1~p必败,p+1~p+q必胜

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000;
int sg[N+4];
int n,p,q;
void turn(int n)
{
	for (int i = p;i <= q;++i)
	{
		sg[i+n] = 1;
	}
}
void fool()
{
	mem(sg,0);
	sg[0] = 1;
	for (int i = 1;i <= n;++i)
	{
		if (sg[i] == 0) turn(i);
	}
	for (int i = 1;i <= n;++i)
	{
		if (sg[i] == 0) cout<<"{"<


E - Fliping game

找规律,发现当右下角是1的时候必胜

插一句,这个游戏公平吗?是公平的,因为右下角是1的概率是1/2,而其他的石头怎么样不需要考虑^_^

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
    int T;Sint(T);
	while(T--)
	{
		int n,m;
		Sint2(n,m);
		int s ;
		for (int i = 0;i < n;++i)
		{
			for (int j = 0;j < m;++j)
			{
				Sint(s);
			}
		} 
		if (s) puts("Alice");
		else puts("Bob");
	} 
    return 0;
}


2.Nim 游戏变形:

U - John

Nim游戏的简单变形,特判全部是1的情况:如果全部是1,奇败偶胜,否则就按Nim游戏的异或和为0的是败态
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
//const int N = 100;
//int a[N];
int main()
{
    int n;
    int T;cin>>T;
    while (T--)
    {
    	int s = 0;cin>>n;
    	bool  allone = 1;
    	for (int i = 1,x;i <= n;++i)
    	{
    		Sint(x);
    		s ^= x;
    		if (x > 1) allone = 0;
		}
		if (allone)//奇败偶胜 
		{
			if (n&1) puts("Brother");
			else puts("John");
		}
		else 
		{
			if (s) puts("John");
		    else puts("Brother");
		}
		
	}
    return 0;
}

T - Be the Winner
和上面一题一样的规律,完全不一样的游戏却有完全一样的规律
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
	int n;
	while (cin>>n)
	{
		int s = 0;bool allone = 1;
		for (int i = 1,x;i <= n;++i)
		{
			Sint(x);
			s^=x;
			if (x > 1) allone = 0;
		} 
		if (allone)//奇败偶胜
		{
			if (n&1) puts("No");
			else puts("Yes");
		} 
		else 
		{
			if (s) puts("Yes");
			else puts("No");
		}
	}    
    return 0;
}
H - Nim or not Nim?
和今年多校里面的一道博弈题基本一样,规律基本都是一样的,这里是可以把石头分两堆,今年多校的那题( HDU 5795)分三堆一样的原理
直接打表找规律,打表的过程注释以供参考
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
//const int N = 1000;
//int sg[N+6];
//int SG(int st)
//{
//	if (sg[st]!=-1) return sg[st];
//	sets;
//	s.insert(SG(0));
//	for (int i = 1;i < st;++i)
//	{
//		s.insert(SG(st-i));//拿 
//		s.insert(SG(i)^SG(st-i) );//分 
//	}
//	int g = 0;
//	while (s.count(g)) ++g;
//	sg[st] = g;
//	return sg[st];
//}
//void solve()
//{
//	mem(sg,-1);
//	sg[0] = 0;
//	for (int i = 1;i <= 50;++i)
//	{
//		cout<>T;
	while (T--)
	{
		int n;
		Sint(n);
		int s = 0;
		for (int i = 1,x;i <= n;++i)
		{
			Sint(x);
			s ^= SG(x);
		}
		if (s) puts("Alice");
		else puts("Bob");
	}
    return 0;
}
PS:另附HDU 5795代码对比:(表打出来了规律就很简单了)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
//const int N = 1000;
//int sg[N+5];
//int SG(int st)
//{
//	if (sg[st]!=-1) return sg[st];
//	sets;
//	s.insert(SG(0));
//	for (int i = 1;i < st;++i)
//	{
//		s.insert(SG(st-i));//拿
//		for (int j = 1;j+i < st;++j) 
//		{
//			s.insert(SG(i)^SG(j)^SG(st-i-j));//分
//		}
//	}
//	int g = 0;
//	while (s.count(g)) ++g;
//	sg[st] = g;
//	return sg[st];
//}
//void solve()
//{
//	mem(sg,-1);
//	sg[0] = 0;
//	for (int i = 1;i <= 50;++i)
//	{
//		cout<>T;
	while (T--)
	{
		int n;
		Sint(n);
		int s = 0;
		for (int i = 1,x;i <= n;++i)
		{
			Sint(x);
			s^=SG(x);
		}
		if (s) puts("First player wins.");
		else puts("Second player wins.");
	}
    return 0;
}


F - Daizhenyang's Coin

我以为算是找规律的题,不过找的不是十进制数的规律,而是二进制数的规律,本来博弈就和二进制有着密不可分的关系

所以找规律的时候也要记得考虑一下二进制(这一点不仅是博弈,记得很多其他地方也用到找二进制数的规律)

不过有文章专门讲解了这一类型的游戏的策略:博弈-翻硬币游戏

这里的规律是如果x的二进制里面1个数为奇数,sg[x]就是2x,否则是2x+1

关于unique去重函数:点击打开链接

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
int getone(int x)//返回二进制1的个数
{
	int t = 0;
	while (x)
	{
		if (x&1) ++t;
		x>>=1;
	}
	return t;
} 
int SG(int x)
{
	if (getone(x)&1) return 2*x;
	else return 2*x+1;
}
ll a[111];
int main()
{
    int n;
    while (cin>>n)
    {
    	ll s = 0;
    	for (int i = 0;i < n;++i)
    	{
    		Sll(a[i]);
		}
		sort(a,a+n);
		n = unique(a,a+n)-a;
		for (int i = 0;i < n;++i)
		{
			s ^= SG(a[i]); 
		}
		if (!s) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
    return 0;
}


3.状态转移:

Q - Being a Good Boy in Spring Festival
一般博弈都是问当前的局面是胜态还是败态,这个问如果是胜态,第一步有几种走法
真正理解博弈的会明白,博弈双方对局面做出的转移
当某人面对胜态的时候,他会将胜态转移成败态,
而面对败态的人不管怎么操作,只能将局面由败态转为胜态(不包含平局)
这是因为,如果异或和为0(败态)不管怎么操作都将使异或和变为非0(胜态)
而异或和不为0(胜态),一定有策略将异或和变为0(败态)
所以这题就是找,如果面对的是异或和不为0的胜态,有多少种方案将其变成异或和为0的败态
关于异或,有个很有用的性质:a^a^b = b  (即相同的数异或为0),具体操作看代码
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
	将非0态(胜态)转化为0态(负态)有多少种方案 
*/ 
const int N = 100;
int a[N+4]; 
int s;
bool ok(int x)
{
	int ns = s^x;//把x变成更小的数,使状态变为0 
	if (ns < x) return 1;
	else return 0;
}
int main()
{
    int n;
	while (cin>>n)
	{
		if (!n) break;
		s = 0;
		for (int i = 1;i <= n;++i)
		{
			Sint(a[i]);
			s ^= a[i];
		}
		if (s == 0) puts("0");
		else 
		{
			int sun = 0;
			for (int i = 1;i <= n;++i)
			{
				if (ok(a[i])) ++sun;
			}
			Pintc(sun,'\n');
		}
	} 
    return 0;
}

P - Public Sale
一样的水题打表,不过问的是第一次的选择有哪些,那么枚举第一次的选择,判断子局面是不是败态即可
(也就是只能将败态留给对手)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int  N= 2111;
int sg[N];
int n,m;
void turn(int n)
{
	for (int i = 1;i <= m;++i)
	{
		sg[n+i] = 1;
	}
}
void fool()
{
	mem(sg,0);
	sg[0] = 0;
	for (int i = 0;i <= n;++i)
	{
		if (sg[i] == 0) turn (i);
	} 
}
bool ok(int x)//将此局面给 对手,对手能否赢 
{
	mem(sg,0);
	sg[x] = 0;
	for (int i = x;i <= n;++i)
	{
		if (sg[i] == 0) turn(i);
	}
	if (sg[n] == 0)//对手不能赢
	return 1;
	else return 0; 
}
int main()
{
    while (cin>>n>>m)//n 是成本,m是可以加的数 
    {
      	fool();
    	if (sg[n] == 0) puts("none");
    	else 
    	{
    		bool first = 1;
    		for (int i = 1;i <= m;++i)
    		{
    			if (ok(i)) 
			{
				if (first)
				{
					printf("%d",i);
					first = 0;
				}
				else printf(" %d",i);
			}		
		}
		puts("");
	}
    }
    return 0;
}


4.思维王道

N - Euclid's Game
这题的选择稍多,假设a
这里涉及到一个自由度的概念,有些局面是固定的,比如(4,7),它只能按(4,7)-(4,3)-(1,3)的情况走下去
像这样的局面就是没有自由度,操作者只有唯一的选择
对于形如b-a
对于形如b-a>a的局面,其实这是必胜的局面
(不要问b-a==a的局面,b是a的倍数显然必胜态)
综合上述规律,直接模拟即可(详解参考挑程310面):
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
bool moni(int a,int b)
{
	bool win = 1;
	while(1)
	{
		if (a>b) swap(a,b);
		if (b%a == 0) break;
		if (b-a>a) break;
		b -= a;
		win = !win;
	}
	return win;
}
int main()
{
    int a,b;
    while (cin>>a>>b)
    {
    	if (a==0&&b==0) break;
    	if ( moni(a,b))  puts("Stan wins");
    	else puts("Ollie wins");
	}
    return 0;
}

G - Game
非常神奇,和二分图也联系起来了,想清楚了就是Nim游戏变形
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
	1. 分成一个二分图
    	如果可以从A拿卡片到B,连一条从A到B的边。
	把所有box编号x满足((x%3==0&&x%2==1) || x%3==1)这个条件的放左边,其他放右边,不难发现 
			a) 只有从左边到右边的边或从右到左的边。 
			b) 所有不能拿卡片出去的box都在左边。
	2. 证明左边的box并不影响结果。假设当前从右边的局势来看属于输家的人为了 
	摆脱这种局面,从左边的某盒子A拿了n张卡片到B,因为B肯定有出去的边,对手 
	会从B再取走那n张卡片到左边,局面没有变化 
	3. 于是这就相当于所有右边的box在nim游戏。
*/ 
int main()
{
    int T;cin>>T;
    int kas = 0;
	while (T--)
	{
		int n;scanf("%d",&n);
		int s = 0;
		for (int i = 1,x;i <= n;++i)
		{
			scanf("%d",&x);
//			if ((i%2==1&&i%3==0)) continue;
			if ((i%3==0&&i%2==0)||i%3==2) s^=x;
		}
		printf("Case %d: ",++kas);
		if (s) puts("Alice");
		else puts("Bob");
	} 
    return 0;
}

B - Gems Fight!
局面的描述比较复杂,使用状态压缩博弈,一样的博弈原理,从终态去逆推当前面对的局面
另写了详细题解: HDU 4778 Gems Fight!(博弈+状压)

C - Mine
这个题才真正让人看到SG的作用,前面说当SG和Nim游戏的异或和的结论结合的时候可能并没有什么感觉
这题就很好的应用了这点,整个棋盘的sg就是每个格子的sg的异或和
另写了详细题解: HDU 4678 Mine (博弈SG+自由度原理)

你可能感兴趣的:(ACM题解与算法,ACM(算法))