一、心得体会
1.ACM博弈题，不会的时候觉得难于上青天，会的时候觉得没有比博弈更水的题了；
博弈题看到的第一眼觉得是难题，代码敲完顿觉水题。你可能花半个小时去找规律，然后仅花2分钟敲代码。
2.博弈是单人游戏，也可以说是自己跟自己玩，因为“双方都做出最优决策”这一点限制了，最后的结果不取决
于你是谁，不取决于你的智商，只取决于你面对的局面；
3.局面，这是博弈里面最最最重要的东西！！！（所谓SG也是指这一局面的SG），博弈是一种不公平的游戏
因为游戏开始的时候已经结束了，影响你胜负的就是你所面对的局面，因为双方采取最优策略
故而局面必然会以双方当前对自己最优的路径走下去，所以结局已经确定了
4.当你面对一个局面的时候如何做出最优的决策呢？你一定是走到了最后一步才确定了胜负，所以当前的局面
往往需要从最终的局面逆推而来（也就是从一个已知胜负的局面一步步推导其他的局面，有了这样的思想，SG
也就不那么难理解了）
5.关于SG：
入门了博弈的人都知道，博弈里面常常用到一个重要的概念 -- SG。但是SG是什么？你去百度的话会有非常专业的解答，
但是那些所谓的专业绝对让人看的头疼。这里说说我所理解的博弈里面的SG（仅限博弈）
挑程里是这样解释SG值的：
除 任意一步所能转移到的子局面的SG值以外的最小非负整数。
仔细体会一下这句话，你会发现，这里对SG值的定义是递归定义的！
当前局面的SG是什么呢？请先去找当前局面的子局面的SG值。
显然，递归是有一个边界的，SG是一种递归，那么它也是有边界的，
不难发现，它的边界是没有子局面的局面（也就无法再转移的局面）
什么样的局面没有子局面呢，也就是胜负已定的局面。在第4点说到，
当前局面的最优策略是从胜负已定的最终局面逆推来的，这里的SG其实也是
说了这些，那么SG到底是什么呢？
联想当年学习递归的一个例子：
f(n) = 1 , n = 1
f(n-1) +1 ,n > 1
这样一个函数是我们学习递归时的经典例子，你说这里的F到底是什么？其实它不过是一个函数而已。
SG也是一样，它只是一个函数而已，函数这个词翻译成英语再翻译成中文，就成了“功能、作用”
那么SG的作用是什么呢？
举一个最简单的例子：
有一堆石头数量为n,两个人轮流从石堆拿{a1,a2,a3,......,ak}个石头，先取完所有石头者胜。
根据前面说的，首先找胜负已定的局面，当n=0的时候，石头被拿完了，败态
那么sg[0] = 0表示面对0个石头的局面者败，然后根据sg的定义，我们可以求出其他局面的sg值
（为了使每种局面确保有可以转移的子局面，我们假设{a1,a2,a3......,ak}里面一定有1，例如假设没有1的话
，假设为{5，6,7}那么局面4没有可以转移的子局面，这样会出现平局的情况，我们后面再说平局）
这样可以求出所有局面的sg值,然后sg的作用出来了~
我们发现，若sg[x] = 0,那么x是败态，这其中很神奇，鶸也说不清楚，只说一下胜态败态的转移
（其实光理解的话可能还是不知道什么是SG，但是看了后面的题目就能理解了并知道怎么用SG找到游戏的胜态败态了）
6.胜态与败态：
之前说了，博弈里面，游戏开始的时候已经结束了，影响你胜负的就是你所面对的局面。
也就是说，这个局面觉得了你的胜负，我们称能让你走向胜利的局面称为胜态，也是必胜态，专业术语也叫P态（积极的英语单词怎么写？）
称让你走向失败的状态称为败态，也是必败态，专业也叫N态（消极的英语单词鶸也不会拼。。。）
有一个很显然的规律：
只要当前状态可以转移到的状态中有一个是败态，那么当前状态就是胜态。
如果当前状态可以转移到的所有状态都是胜态，那么当前状态就是败态。
这两句话互为逆否命题，一眼就看出是对的就不解释了。
可以胜态败态的角度去理解下SG。
7.Nim游戏：
关于这个Nim游戏，百度的话又是一大堆乱七八糟看不下去的东西，
它的最原始的版本大概是说有N堆石头，{a1,a2,a3......,an}表示每堆的数量，两个人轮流选一个石堆拿若干石头（不能不拿），
如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负。
这个游戏有个非常完美的结论：
令 s = a1^a2^a3....^an(^符号表示异或运算)
若 s = 0,则此局面为败态，否则为胜态
对于上面的式子，我们不难发现，当你从一个石堆拿走一些石头（即改变一个ai），一定会发生胜态和败态的转变
胜态一定会转移成败态，败态也一定有策略转移成胜态
当这个结论与SG结合，神奇的事发生
我们发现sg异或和为0的状态也是败态，否则胜态。
另外，很多游戏都可以转变为Nim的形式，例如POJ 1704(挑程上有讲解)
8.关于平局：
我们发现，一个必胜态的获得，必然是因为它可以转移到一个败态，那么是不是说相比于平局我们更倾向于败态呢？
如果有更多的败态，理论上可以转移出更多的胜态，但是孩子别太天真了啊~
博弈将“对敌人的仁慈就是对自己的残忍”这句话发挥的淋漓尽致，当你选择败态的时候，对方却不会傻傻按照你的想法给你转移胜态的
该你输的时候你还是得输，所以，在博弈里的决策，一定要是对自己最有利对对手最不利的策略才是最优策略，、
也就是说，如果实在不能赢，你一定宁可平局，也不要选择败态。例如今年HDU 多校题5754 里面马的情况
9.当初关于博弈看了很多但是都只是似懂非懂，只有做多了题才有更多的·体会
二、博弈做题技巧
做了个专题：点击打开博弈专题
题目其实好多都是做过的原题，不过以前都是自己找规律的，这次就是用SG打表找规律，通过这些题目也算是知道怎么使用SG找规律了
其中的题目大多都是打表找规律，不过也有一些有趣的题目
PS:题目选自kuangbin 的博弈分类：点击打开链接（难度的话，后面的题都蛮简单，前面的题稍难）
1.打表找规律题：
W - A multiplication game
输入n,从1开始,每次乘以2~9的数，谁最先达到n谁胜
直接上代码，其中solve()函数是打表的过程，找完规律之后直接解决不需要solve，不过为了记录自己的思路，打表的代码也保留了
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
败态：
10 - 18
163 - 324
2917 - 5832
综上：
败态：
(9*18^i,18*18^i]
i从0开始
*/
const int N = 100000;
int sg[N+4];
void solve()
{
sg[1] = 0;
for (int i = 2;i <= N;++i)
{
sets;
for (int j = 2;j <= 9;++j)
{
int to = i/j;
if (i%j)to++;
s.insert(sg[to]);
}
int g = 0;
while (s.count(g)) ++g;
sg[i] = g;
}
for (int i = 2000;i <= 9000;++i)
{
cout<l[i]&&x<=r[i]) return 1;
}
return 0;
}
int main()
{
// solve();
ll n;init();
while (~scanf("%I64d",&n))
{
if (loser(n)) puts("Ollie wins.");
else puts("Stan wins.");
}
return 0;
}
S - A Multiplication Game
S题和W题一样的，不说了
R - 悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者
和S、W的意思也差不多，不过操作从乘法变成了加法，由于数据小，于是也没有找规律，直接打完所有表把规律存在表里就好
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
O - Calendar Game
同样从终态逆推，不过逆推的过程有点麻烦，导致看起来都像模拟了。。。
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
V - Digital Deletions
题意是对于一个数字形式的字符串，可以把每一位的数字变小（包括0，不为负），可以删去一个0以及0右边的所有数一起删除，两人轮流操作
谁移除最后一个数胜
同样逆推局面推出胜态败态
逆推的时候操作变成将数字变大，或者在后面补0及其他数字，因为长度不超过6，所以还是很简单的
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
M - Play a game
大胆猜测，小心求证，自己随便玩几种局面就会发现奇败偶胜（代码略）
int n;
while (cin>>n)
{
if (!n) break;
if (n&1) puts("ailyanlu");
else puts("8600");
}
L - Good Luck in CET-4 Everybody!
依旧简单打表找规律，自己手动找规律也可以，不过为了练习下SG的运用，还是用SG打表（也比手动找规律更快更准）
具体用SG打表找规律的方法代码中见：
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
K - kiki's game
打表找规律，发现当n和m都是奇数的时候必败，打表代码注释了没删除以供参考
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
J - 取石子游戏
斐波那契博弈哦，必败态是斐波那契数
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
bool check(ll x)
{
ll f1 = 1,f2 = 1;
ll f = 2;
while (f <= x)
{
f = f1 + f2;
if (f == x) return 1;
f1 = f2;
f2 = f;
}
return 0;
}
int main()
{
ll n;
while (cin>>n)
{
if (!n) break;
if (check(n)) puts("Second win");
else puts("First win");
}
return 0;
}
I - 邂逅明下
三个变量，找规律的时候不是那么容易，然后说到博弈还有一个特点就是，大胆猜测~
最后发现1~p必败，p+1~p+q必胜
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
E - Fliping game
找规律，发现当右下角是1的时候必胜
插一句，这个游戏公平吗？是公平的，因为右下角是1的概率是1/2，而其他的石头怎么样不需要考虑^_^
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
2.Nim 游戏变形：
U - John
Nim游戏的简单变形，特判全部是1的情况：如果全部是1，奇败偶胜，否则就按Nim游戏的异或和为0的是败态
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
T - Be the Winner
和上面一题一样的规律，完全不一样的游戏却有完全一样的规律
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
H - Nim or not Nim?
和今年多校里面的一道博弈题基本一样，规律基本都是一样的，这里是可以把石头分两堆，今年多校的那题（ HDU 5795）分三堆一样的原理
直接打表找规律，打表的过程注释以供参考
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
PS:另附HDU 5795代码对比：（表打出来了规律就很简单了）
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
F - Daizhenyang's Coin
我以为算是找规律的题，不过找的不是十进制数的规律，而是二进制数的规律，本来博弈就和二进制有着密不可分的关系
所以找规律的时候也要记得考虑一下二进制（这一点不仅是博弈，记得很多其他地方也用到找二进制数的规律）
不过有文章专门讲解了这一类型的游戏的策略：博弈-翻硬币游戏
这里的规律是如果x的二进制里面1个数为奇数，sg[x]就是2x,否则是2x+1
关于unique去重函数：点击打开链接
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
3.状态转移:
Q - Being a Good Boy in Spring Festival
一般博弈都是问当前的局面是胜态还是败态，这个问如果是胜态，第一步有几种走法
真正理解博弈的会明白，博弈双方对局面做出的转移
当某人面对胜态的时候，他会将胜态转移成败态，
而面对败态的人不管怎么操作，只能将局面由败态转为胜态（不包含平局）
这是因为，如果异或和为0（败态）不管怎么操作都将使异或和变为非0（胜态）
而异或和不为0（胜态），一定有策略将异或和变为0（败态）
所以这题就是找，如果面对的是异或和不为0的胜态，有多少种方案将其变成异或和为0的败态
关于异或，有个很有用的性质：a^a^b = b (即相同的数异或为0)，具体操作看代码
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
P - Public Sale
一样的水题打表，不过问的是第一次的选择有哪些，那么枚举第一次的选择，判断子局面是不是败态即可
（也就是只能将败态留给对手）
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
4.思维王道
N - Euclid's Game
这题的选择稍多，假设a
这里涉及到一个自由度的概念，有些局面是固定的，比如（4,7），它只能按（4,7）-（4,3）-（1,3）的情况走下去
像这样的局面就是没有自由度，操作者只有唯一的选择
对于形如b-a
对于形如b-a>a的局面，其实这是必胜的局面
（不要问b-a==a的局面，b是a的倍数显然必胜态）
综合上述规律，直接模拟即可（详解参考挑程310面）：
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
G - Game
非常神奇，和二分图也联系起来了，想清楚了就是Nim游戏变形
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
B - Gems Fight!
局面的描述比较复杂，使用状态压缩博弈，一样的博弈原理，从终态去逆推当前面对的局面
另写了详细题解： HDU 4778 Gems Fight!(博弈+状压)
C - Mine
这个题才真正让人看到SG的作用，前面说当SG和Nim游戏的异或和的结论结合的时候可能并没有什么感觉
这题就很好的应用了这点，整个棋盘的sg就是每个格子的sg的异或和
另写了详细题解： HDU 4678 Mine (博弈SG+自由度原理)
