[补充内容]关于使用matlab进行方程组求解的线性代数相关知识补充——二次型

前言

根据李永乐老师课程学习。主要记载二次型相关的性质、定理等知识，不会进行定理推导、证明。

二次型概念

这样一个多元函数就被称为二次型（每一项都是二次的）

用矩阵形式表示为（二次型的矩阵表示）

形式上写作
A叫做二次型的矩阵。

二次型的标准型只有平方项，二次型矩阵只有对角线上有值。
二次型的规范型在标准型的基础上对角线上元素只能是0、1、-1。
正惯性指数、负惯性指数对标准型而言，系数为正的个数为正惯性指数，系数为负的个数为负惯性指数。
二次型的秩矩阵A的秩。
坐标变换
对x进行如下替换，要求c组成的行列式C不等于0。

换成矩阵形式写作x=Cy
合同如果CAC=B，其中C是可逆矩阵，称矩阵A和B合同，记作（这东西死也打不出来，连数学编辑器都没有这符号）

合同的性质
 1.A合同A
 2.如果A合同B，则B合同A
 3.如果A合同B，B合同C，则A合同C
任何二次型都可以经过坐标变换变为标准型。
定理：任一个二次型f=X^TAX,其中A^T=A。总存在正交变换X=PY，其中P是正交矩阵是二次型变化为标准型
    X^TAX=Y^T∧Y=λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ_ny_n²
其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的n个特征值。
推论：任一n元二次型f=X^TAX都存在坐标变换X=CY使f化为规范型。
惯性定理：对一个二次型X^TAX，经过坐标变换转化为标准型，其正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的（二次型的规范型是唯一的）。
正定二次型
定义：设二次型f(x)=X^TAX，如果对任意的x=(x₁,X₂,…,x_n)^T≠0，恒有f(x)>0，则称f为正定二次型，二次型矩阵A称为正定矩阵。
定理：二次型经坐标变换，其正定型不变。
正定的充要条件
 正惯性指数=n
 A和同E，存在可逆矩阵C，C^TAC=E
 特征值全大于0
 顺序主子式全大于0
正定的必要条件
 主对角线元素大于零。