【 MATLAB 】使用 residuez 函数求 z 反变换的几个案例分析
这篇博文属于我的专栏：数字信号处理的MATLAB实现里面的内容，专栏中给出了这一系列博文的集合，有兴趣的可以关注下。
上篇博文讲解了 residuez 函数的基础知识：
【 MATLAB 】residuez 函数介绍（Z变换部分分数扩展）
这篇博文就给出几个案例来练练手。
案例1：
为了校核留数计算，考虑下面的有理函数：
使用residuez对其进行讨论。
题解：
先将这个有理函数重新整理为以z^-1升幂的函数：
现在利用residuez函数来求它的留数部分、极点以及直接项：
clc;clear;close all;
b = [0,1];
a = [3,-4,1];
[r,p,c] = residuez(b,a)
得到：
r =
0.5000
-0.5000
p =
1.0000
0.3333
c =
[]
这说明了：
同样，我们利用residuez函数返回它的有理多项式形式：
clc;clear;close all;
b = [0,1];
a = [3,-4,1];
[r,p,c] = residuez(b,a);
[b,a] = residuez(r,p,c)b =
-0.0000 0.3333
a =
1.0000 -1.3333 0.3333
这样：
可见，和之前有理函数一致。
案例2：
求：
的z反变换。
题解：
从分母多项式中可以看出分母多项式的根分别为：0.9,0.9，-0.9，因此可以使用poly函数求出分母多项式的系数，关于poly函数见博文：
【 MATLAB 】poly 函数介绍
延伸：
【 MATLAB 】roots 函数介绍（多项式根）
clc;clear;close all;
b = 1;
a = poly([0.9, 0.9, -0.9])
[r,p,c]=residuez(b,a)
a =
1.0000 -0.9000 -0.8100 0.7290
r =
0.2500 + 0.0000i
0.2500 + 0.0000i
0.5000 - 0.0000i
p =
-0.9000 + 0.0000i
0.9000 + 0.0000i
0.9000 - 0.0000i
c =
[]
这样：
由常用函数的z变换以及z变换的性质，可得z反变换：
进一步化简：
MATLAB验证环节：
我们的思路是将X（z）方程有理传递函数，那么x(n)就相当于单位脉冲响应，如果系统输入一个单位脉冲信号，那么输出还是x(n).
这样，我们就可以使用filter函数进行验证x（n）是否正确了。
脚本使用到了单位样值函数：
function [x,n]=impseq(n0,n1,n2);
% generate x(n) = delta(n - n0); n1 <= n <= n2
%_____________________________________________
%[x,n] = impseq(n0, n1, n2);
%
n = [n1:n2];
x = [(n-n0) == 0];直接给出MATLAB脚本：
clc;clear;close all;
b = 1;
a = poly([0.9, 0.9, -0.9])
[delta,n] = impseq(0,0,7);
x = filter(b,a,delta);
subplot(2,1,1);
stem(n,x,'filled');
title('x(n) by impulse response');
x = 0.75 * (0.9).^n + 0.5 * n .* (0.9).^n + 0.25 * (-0.9).^n;
subplot(2,1,2);
stem(n,x);
title('x(n) in z inverse transform');
可见，这里的z反变换是正确的。