递推9~15
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1298. 摘花生问题
问题描述
Hello Kitty 想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。她来到一片有网格状道路的矩形花生地（如下图），从西北角进去，东南角出来。地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。Hello Kitty 只能向东或向南走，不能向西或向北走。问 Hello Kitty 最多能够摘到多少颗花生。
如输入：
2 2
1 1
3 4
代表有 2 行，每行有 2 株花生，那么摘能摘到的最多的花生就是：1 -> 3 -> 4 ，总和为 8 颗花生。
输入
第一行是两个整数 n 和 m （ 1 ≤ n, m ≤ 100 ），代表了花生地里有 n 行，每行有 m 列的花生！
后面 n 行，每行有 m 个整数代表了每行中，每株花生的数量！( 每株花生数量 ≤ 10000 )
输出
输出是一个整数，代表了最多能摘到的花生的总数；
样例
输入
2 2
1 1
3 4
输出
8
解析：每一格的花生数量来源于其左方的数量和上方的数量，那么在两个方向中选择数量最多的，依次枚举每一格的最大花生数量，得到递推式：f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i, j-1))，答案就在f(n, m)。
#include
using namespace std;
long long a[105][105];
int main() {
int m, n;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
cin >> a[i][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
a[i][j] += max(a[i-1][j], a[i][j-1]);
}
}
cout << a[n][m];
return 0;
} 1374. 摘花生问题（2）
问题描述
Hello Kitty 又一次来到花生地里摘花生，从左上角进入花生地，从右下角出去，只能向右或者向下，请问 Hello Kitty 应该沿着什么样的路线走，能够摘到的花生数量最多（假设花生地里没有任何 2 株的花生一样多，也不存在多条路线能够摘到一样多的花生的情况）？
比如输入：
2 2
1 2
3 4
应该输出：1−3−4，也就是按照 1 3 4 这三株数量的花生摘过去，能够摘到最多的花生！
输入
第一行是 2 个整数 m 和 n （2 ≤ m, n ≤ 100），代表花生地有 m 行，n 列花生！
后面 m 行，每行有 n 个整数代表了每行中，每株花生的数量。
输出
输出Hello Kitty按照走过的路线中，摘到每株花生的数量。
样例
输入
2 2
1 2
3 4
输出
1-3-4
解析：求最大值上道题已经讲过，输出路径使用递归来输出，从(n, m)点开始往后递归，每次找两个方向的最大值递归，直到(1, 1)。
#include
using namespace std;
long long a[105][105];
void dfs(int x, int y) {
if(x == 1 && y == 1){
cout << a[1][1];
return;
}
if(a[x][y-1] > a[x-1][y]){
dfs(x, y-1);
cout << "-" << a[x][y] - a[x][y-1];
}
else{
dfs(x-1, y);
cout << "-" << a[x][y] - a[x-1][y];
}
}
int main() {
int m, n;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
cin >> a[i][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
a[i][j] += max(a[i-1][j], a[i][j-1]);
}
}
dfs(n, m);
return 0;
} 1368. 蜜蜂路线
问题描述
一只蜜蜂在下图所示的数字蜂房上爬动，已知它只能从标号小的蜂房爬到标号大的相邻蜂房，现在问你：蜜蜂从蜂房 M 开始爬到蜂房NN，1 ≤ M < N ≤100，有多少种爬行路线？
输入
输入 M，N 的值。（1 ≤ M < N ≤ 100）
输出
爬行有多少种路线。
样例
输入
1 14
输出
377
输入
1 100
输出
354224848179261915075
解析：到达 i 巢穴有两条路径，分别可以从 i-1 和 i-2 的巢穴到达，那么就和上一道题相似，i巢穴的方案数等于 i-1 巢穴加上 i-2 巢穴的方案数。需要注意的是结果可能会超过 long long 存储的范围，需要使用高精度来存储计算过程。
#include
using namespace std;
int a[1005][1005], k = 1;
void add(int x){
for(int i = 0; i < k; i++){
a[x][i] = a[x-1][i] + a[x-2][i];
}
for(int i = 0; i < k; i++){
if(a[x][i] > 9){
a[x][i+1] += a[x][i] / 10;
a[x][i] %= 10;;
}
}
if(a[x][k])k++;
}
int main() {
int m, n;
cin >> m >> n;
a[m][0] = 1;
for(int i = m+1; i <= n; i++){
add(i);
}
for(int i = k-1; i >= 0; i--){
cout << a[n][i];
}
return 0;
} 1367. 骨牌铺方格
问题描述
有 1×n（n ≤ 50）的一个长方形，用 1×1、1×2 和 1×3 的骨牌铺满方格，请问有多少种铺法？
例如当 n=3 时为 1×3 的方格。此时用 1×1 、1×2 和 1×3 的骨牌铺满方格，共有四种铺法。如下图：
输入
一个整数 n（n ≤ 50）
输出
骨牌的铺法。
样例
输入
3
输出
4
解析：一共有三种骨牌分别可以填满1、2、3格，假设要填满到第 i 格方格，在第 i-1格方块我们只需方一个1个的骨牌就可填满，其他两种骨牌以此类推，分别在 i-2 格和 i-3 格方块放一个就课填满，那么第 i 格的方案数等于前三格的方案数之和。n = 1 时方案数永远为1，前三格都需要在方案数的基础上加1，因为可以放一个骨牌就可以填满。
#include
using namespace std;
int a[55] = {0, 1, 2, 4};
int main() {
int n;
cin >> n;
for(int i = 4; i <= n; i++){
a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3];
}
cout << a[n];
return 0;
} 1539. 小X放骨牌
问题描述
小X喜欢下棋。
这天，小X对着一个长为N宽为M 的矩形棋盘发呆，突然想到棋盘上不仅可以放棋子， 还可以放多米诺骨牌。
每个骨牌都是一个长为2宽为1的矩形，当然可以任意旋转。小X想知道在骨牌两两不重叠的前提下，这个棋盘上最多能放多少个骨牌，希望你帮帮他。
如图所示，三种颜色分别对应了三个骨牌。
输入
第一行包含用一个空格隔开的两个整数N, M。
输出
第一行包含一个整数，表示该棋盘上最多能放的骨牌个数。
样例
输入
2 3
输出
3
解析：骨牌的放置数量只与棋盘的总面积有关，所以总面积除以骨牌的面积2。
#include
using namespace std;
int main() {
int n, m, sum = 0;
cin >> n >> m;
sum = n * m / 2;
cout << sum;
return 0;
} 1366. 平面分割问题
问题描述
设有 n 条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
输入
一个整数n（n <= 10000），代表封闭曲线的条数
输出
n条曲线分割区域的个数
样例
输入
2
输出
4
解析：当 n = 1 时，一条封闭曲线将平面分割成2个区域，即 f(1) = 2。当已经有 n - 1 条封闭曲线时，平面被分割成了 f(n - 1) 个区域。现在再增加第n条封闭曲线，由于任何两条封闭曲线恰好相交于两点，所以第n条封闭曲线与前面的 n - 1 条封闭曲线都相交，且有 2(n - 1) 个交点。这 2(n - 1) 个交点将第n条封闭曲线分成了 2(n - 1) 段弧。每一段弧都会把原来所在的区域一分为二，也就是每增加一段弧就会增加一个区域，所以增加第n条封闭曲线后，增加的区域个数为 2(n - 1)。因此，可以得到递推公式：f(n) = f(n - 1) + 2(n - 1)。
#include
using namespace std;
int a[10005] = {0, 2};
int main(){
int n;
cin >> n;
for(int i = 2; i <= n; i++){
a[i] = a[i-1] + 2 * (i - 1);
}
cout << a[n];
return 0;
} 1369. Pell数列
问题描述
有一种数列，它的前 10 项的值分别为：1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378，这个数列被称为 Pell 数列，请问该数列的第 n 项的值是多少？（n ≤ 1000）
输入
一个整数 n 。
输出
第 n 项的值。
样例
输入
10
输出
2378
解析：分析前10项的值，可以总结出递推式：f(i) = f(i-1) * 2 + f(i-2) 。注意 n 的取值范围，计算是的数据会超过 long long 的存储范围，需要使用高精度计算存储。
#include
using namespace std;
int a[1005][1005], k = 1;
void add(int d){
for(int i = 0; i < k; i++){
a[d][i] = a[d-1][i] * 2 + a[d-2][i];
}
for(int i = 0; i < k; i++){
if(a[d][i] > 9){
a[d][i+1] += a[d][i] / 10;
a[d][i] %= 10;
}
}
if(a[d][k])k++;
}
int main(){
int n;
cin >> n;
a[1][0] = 1;
a[2][0] = 2;
for(int i = 3; i <= n; i++){
add(i);
}
for(int i = k-1; i >= 0; i--){
cout << a[n][i];
}
return 0;
}