34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array（在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置）解法（C++ & 注释）

1. 题目描述

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

示例 1:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]

示例 2:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

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2. 二分查找（Binary Search）

2.1 解题思路

使用二分法有两种思路：1）二分不断查找target的最小序号和最大序号；2）二分查找一个target的序号，然后左右两边分别查找第一个小于target数的序号，和第一个大于target数的序号。

因为第一种方法比较易于理解，所以这里着重解释一下第一种方法。至于第二种方法，大家可以根据下面的代码，自己理解一下。

我们以下面这个为例子来讲解：

[5,7,7,8,8,10], target = 8

1. 使用二分查找得到index = 3，反之我们假设一下没有查找到index = -1，那么说明整个数组没有target，直接返回[-1,-1]即可；
2. 现在得到index = 3，说明整个数组中至少3这个位置有一个target，左右两边是否还有target是未知的，所以我们初始化答案ans = [index, index] = [3, 3]。如果后续查找没有其他target了，直接返回这个答案即可；
3. 接下来需要考察3的左边和3的右边是否还有target，如果左边有，取最小的index，更新ans[0]，如果右边有，取最大的index，更新ans[1]；
4. 回到1. 的步骤继续执行，直到剩余数组中没有target，或者左边界的序号大于右边界的；

番外：
（1）upper_bound函数是在[first, last)中查找第一个比target大的数，找不到返回last；
（2）lower_bound函数实在[first, last)中查找第一个大于或等于target的数，找不到则返回last；
（3）两者的返回值都是迭代器（Iterator）；

2.2 实例代码

class Solution {
    int binarySearch(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {
        if (left == right) { if (nums[left] == target) return left; else return -1; }
        else if (left > right) return -1;
        
        int mid = (right - left) / 2 + left;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) return binarySearch(nums, mid + 1, right, target);
        return binarySearch(nums, left, mid - 1, target);
    }

    int findLowerBound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {
        if (left == right) return left;
        else if (left > right) return -1;
        if (nums[left] == target && nums[right] == target) return left; // 查找的数组的数字都是target
        
        int mid = (right - left) / 2 + left;
        if (nums[mid] == target) return findLowerBound(nums, left, mid, target);
        if (nums[mid] < nums[mid + 1] && nums[mid + 1] == target) return mid + 1;
        return findLowerBound(nums, mid + 1, right, target);
    }

    int findUpperBound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {
        // 上界会出现这种特殊情况：[2,2] 或 [2,3]，都是查找2
        if (left == right) {
            if (nums[left] == target) return left;
            else return left - 1;
        }
        else if (left > right) return -1;
        if (nums[left] == target && nums[right] == target) return right;
        
        int mid = (right - left) / 2 + left;
        if (nums[mid] == target)  return findUpperBound(nums, mid + 1, right, target);
        if (nums[mid - 1] < nums[mid] && nums[mid - 1] == target) return mid - 1;
        return findUpperBound(nums, left, mid - 1, target);
    }
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> ans(2, -1);
        int len = nums.size(), idx = binarySearch(nums, 0, len - 1, target);
        if (idx == -1) return ans;
        //（1）使用自己创建的二分查找函数查找第一个比target小的数，和第一个比target大的数
        //ans[0] = findLowerBound(nums, 0, idx, target);
        //ans[1] = findUpperBound(nums, idx, len - 1, target);

        //（2）使用lower_bound和upper_bound内置函数进行查找，思路和（1）相似
        //vector::iterator itlower = lower_bound(nums.begin(), nums.begin() + idx, target);
        //ans[0] = itlower - nums.begin();
        //vector::iterator itupper = upper_bound(nums.begin() + idx + 1, nums.end(), target);
        //ans[1] = itupper == nums.end() ? (idx + 1 <= len - 1 ? len - 1 : idx) : itupper - nums.begin() - 1;

        //（3）直接使用二分查找函数查找target在数组中最大的序号和最小的序号
        int idxLowerLeft = 0, idxLowerRight = idx - 1, idxUpperLeft = idx + 1, idxUpperRight = len - 1;
        ans = { idx, idx };
        while (idxLowerLeft <= idxLowerRight) {
            int idxFound = binarySearch(nums, idxLowerLeft, idxLowerRight, target);
            if (idxFound == -1) break;
            ans[0] = min(ans[0], idxFound);
            idxLowerRight = idxFound - 1;
        }

        while (idxUpperLeft <= idxUpperRight) {
            int idxFound = binarySearch(nums, idxUpperLeft, idxUpperRight, target);
            if (idxFound == -1) break;
            ans[1] = max(ans[1], idxFound);
            idxUpperLeft = idxFound + 1;
        }
        return ans;
    }
};