利用matlab进行多项式求根——符号解
问题描述：对于一个方程，比如： a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0，我们想要求出关于x的表达式（求根）。
如果a，b，c是已知的，或者说是某个确定的数值，那么我们就可以直接用roots函数进行求根——数值解：
p=[1 2 1]
roots(p)
返回结果是：
ans =
-1
-1
显然这里的a，b，c是未知的，我们想要求出x的表达式——符号解。那么我么可以用solve函数来实现：
syms a b c x % 声明参数
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;
solx = solve(eqn, x)
返回结果是：
solx =
-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
其中，solve（eqn，x）表示对等式eqn关于x的求解（同样地，也可以求解关于a或b或c的解）。eqn可以是一个等式，也可以是一个表达式，如果是一个表达式，则默认是对eqn=0求解。
需要注意的是，solve函数并不一定总是返回方程的所有解，比如：
syms x
solx = solve(cos(x) == -sin(x), x)
返回结果是：
solx =
-pi/4
如果我们需要返回所有可能的解，可以设置“ReturnConditions"选项为true。如下所示：
[solx, param, cond] = solve(cos(x) == -sin(x), x, 'ReturnConditions', true)
返回结果是：
solx =
pi*k - pi/4
param =
k
cond =
in(k, 'integer')
如上所示，返回值有三个参数，分别是解、解的参数、解的条件。
solx =pi*k - pi/4
param =k
cond =in(k, ‘integer’)
进一步深入：对于上述有多个解的情况，如何返回在指定区间内或满足特定条件的解呢？
- 第一步：求出方程的所有可能解（带有参数param和条件cond），即方程的通解。例如：方程 c o s ( x ) = − s i n ( x ) cos(x) =-sin(x) cos(x)=−sin(x)，通解为： s o l x = k π − π 4 solx =k\pi - \frac {\pi} 4 solx=kπ−4π（其中k为参数，k为整数）。
matlab实现：
syms x
[solx, param, cond] = solve(cos(x) == -sin(x), x, 'ReturnConditions', true)
- 第二步：求出在指定区间内或满足特定条件的解对应参数的所有可能取值。例如：对于方程 c o s ( x ) = − s i n ( x ) cos(x) =-sin(x) cos(x)=−sin(x)，求出在区间 ( − 2 π , 2 π ) (-2\pi,2\pi) (−2π,2π)内的解，于是k的所有可能取值等价于求不等式 − 2 π < k π − π 4 < 2 π -2\pi
−2π<kπ−4π<2π ，即 k = − 1 ， 0 ， 1 ， 2 k=-1，0，1，2 k=−1，0，1，2
matlab实现：
assume(cond)
solk = solve(-2*pi- 第三步：把参数的所有可能取值代入方程通解的表示式中，即得到在指定区间内或满足特定条件的解。把 k = − 1 ， 0 ， 1 ， 2 k=-1，0，1，2 k=−1，0，1，2代入到 s o l x = k π − π 4 solx =k\pi - \frac {\pi} 4 solx=kπ−4π，于是满足条件的解为： x v a l u e s = − 5 π 4 , − π 4 , 3 π 4 , 7 π 4 xvalues=-\frac {5\pi} 4,-\frac {\pi} 4,\frac {3\pi} 4,\frac {7\pi} 4 xvalues=−45π,−4π,43π,47π
matlab实现：
xvalues = subs(solx, solk)
xvalues = vpa(xvalues) % 把符号解转换成数字解
解的可视化
绘制 c o s ( x ) = = − s i n ( x ) cos(x) == -sin(x) cos(x)==−sin(x)的解：分别绘制cos(x)和 -sin(x)，再标记出两个曲线的交点。
matlab实现：
fplot(cos(x))
hold on
grid on
fplot(-sin(x))
title('Both sides of equation cos(x) = -sin(x)')
legend('cos(x)','-sin(x)','Location','best','AutoUpdate','off')
yvalues = cos(xvalues) % 计算交点的纵坐标
scatter(xvalues, yvalues) % 标出交点的位置
