夕拾算法进阶篇：28)矩阵连乘(动态规划DP)

矩阵连乘：
设有矩阵M1,M2,M3,M4，其维数分别是10×20, 20×50, 50×1 和1×100，现要求出这4个矩阵相乘的结果。我们知道，若矩阵A的维数是p×q，矩阵B的维数是q×r，则A与B相乘后所得矩阵AB的维数是p×r。按照矩阵相乘的定义，求出矩阵AB中的一个元素需要做q次乘法（及q-1次加法）。这样，要计算出AB就需要做p×q×r次乘法。为简单起见，且由于加法比同样数量的乘法所用时间要少得多，故这里我们暂不考虑加法的计算量。由于矩阵连乘满足结合律，故计算矩阵连乘的方式可以有多种。
例如，我们可以按M1(M2(M3M4))的方式去计算，也可以按(M1(M2M3))M4的方式去计算，所得结果是相同的。但是值得注意的是，按前一方式计算需要做125,000次乘法，
而按后一方式计算只需要做2,200次乘法。由此可见，矩阵连乘的运算次序对于所需要的计算量（所需乘法次数）有着极大的影响。

如何解决矩阵连乘问题：

设要求出矩阵连乘M_iM_i+1……M_j-1M_j（i）所需的最少乘法次数。因共有j-i+1个矩阵，故称这个矩阵连乘的规模是j-i+1

按照做最后一次乘法的位置进行划分，该矩阵连乘一共可分为j-i种情况即有(j-i)种断开方式：M_i(M_i+1┅M_j)，(M_iM_i+1)(M_i+2┅M_j)，┅，(M_iM_i+1┅M_j-1)M_j。其中任一对括号内的矩阵个数（即规模）不超过j-i。若我们已知任一个规模不超过j-i的矩阵连乘所需的最少乘法次数，我们就可以很容易地计算出矩阵连乘M_iM_i+1┅M_j-1M_j（i）所需的最少乘法次数，其方法如下。将上述的j-i种情况表示为通式：(M_i┅M_k) (M_k+1┅M_j)（i≤k）。

记第t个矩阵M_t的列数为r_t，并令r_t-1为矩阵M_t的行数(相邻两个矩阵，上一个矩阵的列数等于下一个矩阵的行数)。则M_i┅M_k连乘所得是r_i-1×r_k维矩阵，M_k+1┅M_j连乘所得是r_k×r_j维矩阵，故这两个矩阵相乘需要做r_i-1×r_k×r_j次乘法。

由于在此之前我们已知任一个规模不超过j-i的矩阵连乘所需的最少乘法次数，故(Mi┅Mk)和(M_k+1┅M_j)所需的最少乘法次数已知，将它们分别记之为m_i,k和m_k+1,j。形为(M_i┅M_k) (M_k+1┅M_j)的矩阵连乘所需的最少乘法次数为：m_i,k+ m_k+1,j + r_i-1×r_k×r_j。

对满足i≤k的共j-i种情况逐一进行比较，我们就可以得到

矩阵连乘MiMi+1┅Mj-1Mj（i）所需的最少乘法次数mi,j为：

mi,j=min {   mi,k  +  mk+1,j   +   ri-1×rk×rj   }   （i≤k）

于是在初始时我们定义mi,i=0（相当于单个矩阵的情况）

求m_1,2：即i=1, j=2，就是2个矩阵，无需划分(k=1,因为i<=k

m_1,2=min{ m_1,1 + m_2,2 + r_i-1×r_i×r_i+1}=ri-1×ri×ri+1=r0×r1×r2= 10×20×50=10000，

求m₂₃：即i=2, j=3，故r_i-1×r_i×r_i+1=r₁×r₂×r₃=20×50×1=1000，

求m₁₃：即i=1, j=3，min_（i≤k）{m_ik+m_k+1,j+ri-1×rk×rj}=min{ (m₁₁+m₂₃+r₀×r₁×r₃)(k=1)，(m₁₂+m₃₃+r₀×r₂×r₃)(k=2)}=min{(0+1000+200), (10000+0+500)}= min{1200,10500}=1200

令dp[i][j]是第i个矩阵到第j个矩阵间最小的乘法次数，p[i]表示的是第i个矩阵的列数，其行数用i-1表示。通过上面的分析，可以推导出如下状态转移方程(i<=k

比如给出的矩阵如：10×20, 20×50, 50×1 和1×100，数据格式简化为:10 20 50 1 100，其第一个数(10)表示第一个矩阵的行第二个数(20)表示第一个矩阵的列，其余的都表示当前矩阵的列。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int Inf=0x7fffffff;//无穷大 
const int M=105;
int dp[M][M],p[M]; 

int main(){
	int i,j,n,v,k;
	while(cin>>n){
		for(i=0;i>p[i];
		} 
	 	memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化边界 
		n-=1; //矩阵的个数为n-1个 首个为第一个矩阵的行,其他皆是列     
	    for(k=2;k<=n;k++){   
	        for(i=1;i+k-1<=n;i++){//左端点枚举位置 
	            j=i+k-1;//     右端点枚举位置 
			 	dp[i][j]=Inf; //选择出矩阵i到矩阵j乘法次数最少的(默认无穷大) 
	            for(v=i;v

参考： http://blog.sina.com.cn/s/blog_64018c250100s123.html

题目来源：http://poj.org/problem?id=1651